On considère un vecteur unitaire u mobile dans le plan et on recherche sa dérivée en fonction du temps du /dt. Pour cette étude, seuls présentent un intérêt les mouvements de rotation car une translation ne modifie pas u et donc sa dérivée.

Étude analytique :
u étant unitaire le produit scalaire u.u = 1.
Si on dérive par rapport au temps, on tire :
(du /dt).u + u.(du /dt) = 0 soit u.(du /dt) = 0
La dérivée d'un vecteur unitaire est normale à ce vecteur.

Étude géométrique :
On trace les vecteurs u(t) en bleu, u(t + Δt) en noir, − u(t) en gris et u(t + Δt) − u(t) en vert. Le vecteur dessiné en rouge est un vecteur unitaire de même direction que le vecteur vert.
Par définition on a :
du / dt = lim (Δt → 0) [u(t + Δt) − u(t)] /Δt

L'angle entre les vecteurs   u(t + Δt) et u(t) tend vers zéro si Δt → 0.
En déplaçant le curseur, on modifie la valeur de Δt. On vérifie que pour Δt = 0, le vecteur dérivé est normal au vecteur unitaire.