Le modèle d'Ising est un modèle de physique statistique utilisé pour l'étude de phénomènes collectifs produits par des interactions locales à deux états.
C'est un modèle de réseau de spins magnétiques ne pouvant prendre que les valeurs 1 et −1. Il permet de décrire le magnétisme des matériaux ferromagnétiques ainsi que les alliages binaires.
Lars Onsager a effectué une étude analytique complète du modèle d'Ising à deux dimensions et il a pu montrer que dans ce cas le système présente une température de transition Tc égale à 2 / ln(1 + √2) = 2,269.
On présente ici une simulation du comportement d'un réseau carré de coté L contenant N = L² cellules.

L'algorithme utilisé est celui de Métropolis qui donne les meilleurs résultats.
On choisit N fois un spin de manière aléatoire (certains spins sont omis et d'autres analysés plusieurs fois) et on calcule l'énergie E nécessaire pour provoquer son retournement en considérant ses quatre plus proches voisins.
Les voisins de la cellule (i, j) sont (i, j−1) (i, j+1) (i −1, j) et (i +1, j)
Si E est négatif, on retourne le spin car cela contribue à diminuer l'énergie totale du réseau.
Si E est positif, on choisit un nombre aléatoire m compris entre 0 et 1. Si m < exp (−E / kT), on bascule le spin sinon on le laisse dans son état initial.

On itère le processus : Le programme est en fait un automate cellulaire. A terme, le système est en équilibre thermique avec un thermostat à la température T. Il y a des fluctuations de l'énergie par cellule et de la magnétisation par cellule mais il y a compensation de ces fluctuations.
Si T < Tc la magnétisation par cellule tend vers M / N = ± 1 et l'énergie par cellule tend vers E / N = − 2 :
Ceci correspond à un ordre ferromagnétique ou à une structure cristalline avec deux phases distinctes ordonnées.
Si T > Tc la magnétisation par cellule tend vers M / N = 0 et l'énergie par cellule tend vers E / N = − 0,5.
Cela correspond à un état paramagnétique ou à une structure cristalline avec une phase unique désordonnée.
Pour des durées assez longues de simulation, on constate que E / N est une fonction continue de la température. Par contre on constate que M / N présente une discontinuité au voisinage de Tc.

Utilisation :
Les spins +1 sont représentés en rouge et les spins − 1 en vert;
Deux boutons radio permettent le choix du nombre de cellules. Le choix N = 2500 conduit plus vite à l'état d'équilibre à très basse température.
Le curseur permet de choisir la température du bain.
Le bouton [Départ à chaud] lance la simulation avec comme état initial une répartition aléatoire des spins.
Le bouton [Départ à froid] lance la simulation avec comme état initial tous les spins égaux à − 1.
Cliquer sur l'un des deux boutons, faire varier la température et observer.
Selon la configuration initiale (aléatoire) le système évolue aux basses températures vers tous les spins égaux à + 1 ou vers tous les spins égaux à − 1.