Les écoulements des liquides obéissent au théorème de Bernouilli : le débit d'un liquide de hauteur z qui s'écoule par un trou de rayon R est D = (2g.z)½.πR² : Le débit varie avec le niveau du liquide.
On constate expérimentalement que pour un écoulement granulaire le débit est en moyenne constant.
En 1961 W. A. Beverloo a proposé une loi qui rend bien compte des phénomènes.
Le débit d'un matériau granulaire de masse volumique µ qui s'écoule par une ouverture de surface S = π.R² est :
D = dM / dt = K.µ.(g)½.S5/4 = K.µ.(g)½.π.R5/2. K est une constante.
Une analyse aux dimensions permet de justifier cette loi.
dim (Débit) = dim (Masse) / dim (T) = L3. T−1.
Comme le débit est constant les paramètres intervenant seront g et S.
dim (g) = L.T−2 et dim (S) = L2. Donc L3. T−1 = (L. T−2)α(L2)β. donc α = ½ et β = 5 / 4.
Le débit est fonction de la surface à la puissance
5 / 4 (ou du rayon à la puissance 5 / 2).
Remarque :
On peut écrire la loi de Beverloo sous la forme : D = K.µ.(g.R)½.π.R2
Par comparaison avec le théorème de Bernouilli, on peut dire que pour un écoulement granulaire la hauteur de chute qui intervient est de l'ordre de grandeur de celle du trou d'écoulement.
Le programme est une idéalisation de l'écoulement de sable sec à travers un trou circulaire de rayon R.
Données utilisées K = 0,5; µ = 2,4 g / cm3; récipient cylindrique de rayon 2,5 cm.
Utilisation
Au centre on représente le dispositif : le récipient est accroché sous une balance automatique. On peut aussi mesurer la masse du sable qui s'est écoulé.
A droite, on représente le graphe masse de sable en fonction du temps.
A gauche on représente le graphe ln(D) en fonction de ln(S) et la droite de pente 5 / 4.