La spirale logarithmique est la courbe dont l'équation polaire est : ρ = ρ₀.exp(b.θ)
ρ est le rayon vecteur,θ est l'angle polaire, ρ₀ la valeur de ρ pour θ = 0 et b un paramètre.

Rappels :
Les coordonnées cartésiennes du point P tel que ρ(P) = f(θ) sont :
x = ρ.cos(θ) et y = ρ.sin(θ).
Si r est le vecteur unitaire porté par le rayon vecteur et t le vecteur unitaire normal à r, i et j les vecteurs unitaires cartésiens, on a :
r = i.cos(θ) + j sin(θ)
t = −i.sin(θ) + j cos(θ).
En déduire que :
dr /dt = t.dθ / dt
dθ/dt = − r.dθ / dt
et que la vitesse d'un point P dont la trajectoire est ρ(P) = f(θ) a pour expression :
v = dρ / dt = r.dρ / dt + t.ρ.dθ / dt.

Tangente à la spirale logarithmique :
On a : v = ρ(b.r + t) .
Soit Φ l'angle entre le rayon vecteur et la tangente.
cos (Ψ) = v.ρ / v.ρ = b / (b² + 1)^½

On tire b = cotg (Ψ) = 1 / tan(Ψ).
Pour la spirale logarithmique l'angle entre le rayon vecteur et la tangente est constant.
Cas particulier : Si b = 0 alors ρ = ρ₀ = Constante et Φ = π / 2. La spirale est alors un cercle.
Longueur de la courbe :
La longueur de l'élement ds est ds = [(dρ)² + (ρ.dθ)²]^½.
Montrer que : L = (ρ − ρ₀). (b² + 1)^½ / b.