La viscosité d'un fluide caractérise la résistance du milieu à un écoulement uniforme sans turbulence.
La dimension d'une viscosité est M. L-1. T -1. L'unité légale de viscosité est le poiseuille ou kg / (m.s).
En règle générale, la viscosité diminue avec la température. Ainsi pour l'eau, η = 1,793 à 0°C et η = 0,282 à 100°C.
On considère une bille de masse volumique ρ, de rayon R et de masse M = 4/3ρ.π.R3.g. On laisse tomber (sans vitesse initiale) cette bille dans une tube contenant un liquide visqueux de masse volumique μ et de viscosité η.
La bille est soumise à son poids P = Mg, à la poussée d'Archimède Pa = − M.g.μ / ρ et à la force de freinage exercée par le liquide sur la bille.
Cette force est donnée par la formule de Stokes. En régime laminaire, cette force est proportionnelle à la viscosité, au rayon de la bille et à la vitesse.
Si l'on considère un axe vertical Oz orienté vers le bas cette force s'écrit : FZ = − 6π.η.R.dz / dt. On pose K = 6π.η.R
Le principe de la dynamique donne :
M.d2z / dt2 = M.g − M.g.μ / ρ − K.dz / dt
En divisant par la masse de la bille, on obtient :
d2z / dt2 = g (1 − [μ / ρ] − [9η / (2R2ρ)].dz / dt). (1)
Quand la vitesse augmente, le terme de frottement croît : la valeur de la vitesse tend vers une valeur limite.
La vitesse limite correspond à une accélération nulle.
En déduire que l'expression de la vitesse limite est VL =
2.g (ρ − μ).R2 / 9.η
En intégrant l'équation (1) par rapport à t, montrer que l'expression de la vitesse est V = VL(1 − exp(−K.t / M)).
En déduire
que z(t) = VL(t − [1 − exp(−K.t / M).M / K]).
Cette méthode est utilisée pour déterminer la viscosité dans certains viscosimètres. (Viscosimètres à billes)
Utilisation :
Les listes de choix permettent de sélectionner la nature du liquide et celle de la bille.
Le curseur permet de modifier le rayon de la bille.
Cliquer sur un bouton de la souris pour figer l'animation.
Les valeurs du coefficient de viscosité η et de la masse volumique μ sont fonction de la température : les valeurs indiquées sont indicatives.
Bien noter que pour de très petites billes
la vitesse limite est atteinte très vite.