Les filtres de Rauch utilisent un amplificateur opérationnel associé à des cellules RC. La structure de base d'ordre 2 comporte 5 impédances et un amplificateur. Pour les cellules d'ordre 3, on ajoute une cellule RC avant une cellule d'ordre 2.
Le calcul de la fonction de transfert pour les filtres d'ordre 2 est indiqué dans la page Filtres de Rauch.
Attention : Cette fonction de transfert suppose un amplificateur opérationnel idéal.
Si cette hypothèse n'est pas vérifiée, l'expression des fonctions de transfert est bien plus complexe.
En utilisant pour nommer les admittances la notation du schéma du filtre passe-bas d'ordre 2,
on peut aussi montrer que l'expression de la fonction de transfert est :
H(p) = S(p) / E(p) = − Y1.Y3 / [ Y3.Y4 + Y5(Y1 + Y2 + Y3 + Y4)].
Pour la cellule passe-bas, on retient en général la configuration [Z1 = R, Z2 = C, Z3 = R, Z4 = R, Z5 = C].
On obtient une cellule passe-haut en permuttant résistances et condensateurs de la cellule passe-bas ce qui donne la configuration [Z1 = C, Z2 = R, Z3 = C, Z4 = C, Z5 = R].
L'examen de la fonction de transfert montre que la configuration [Z1 = C, Z2 = R, Z3 = R, Z4 = C, Z5 = R] donne également une cellule passe-haut.
Les filtres passe-bande et coupe-bande sont obtenus par les associations suivantes :
Passe-bande : mise en série d'un passe-bas de coupure fb et d'un passe-haut de coupure fh avec fb > fh.
Coupe-bande : mise en parallèle d'un passe-bas de coupure fb et d'un passe-haut de coupure fh avec fb < fh suivis d'un sommateur.
Pour des cellules passe-bande d'ordre 2, il est également possible d'utiliser les configurations [Z1 = R, Z2 = R, Z3 = C, Z4 = C, Z5 = R] et [Z1 = C, Z2 = R, Z3 = R, Z4 = R, Z5 = C].
La détermination des valeurs des impédances est complexe.
Le programme du bas de la page permet de faire varier de manière indépendante les cinq impédances pour les filtres d'ordre 2.
En donnant une valeur égale aux résistances (ou aux condensateurs), on simplifie l'expression de la fonction de transfert. Il est alors possible d'identifier les autres éléments aux coefficients des divers polynômes.
En utilisant les coefficients de Bessel, on obtient une coupure douce mais une variation régulière de la phase. Les coefficients de Tchebyscheff donnent une pente raide avec une ondulation et une variation de phase non linéaire.
Les coefficients de Butterworth donnent un compromis entre les deux.
Détermination des composants
Passe-bas : On prend Z1 = Z3 = Z4 = R. On pose C0 = 1 / R ω0 avec ω0 la pulsation de coupure.
Ensuite on prend C1 = K1.C0, C2 = K2.C0, C3 = K3.C0. Les valeurs des Ki sont fonction du type de filtre choisi.
Passe-haut : On prend C1 = C2 = C3 = C. On pose R0 = 1 / C ω0 avec ω0 la pulsation de coupure.
Ensuite on prend R1 = R0 / K1, R2 = R0 / K2, R3 = R0 / K3. Les valeurs des Ki sont fonction du type de filtre choisi.
Utilisation :
La liste de gauche permet la sélection d'un type de filtre.
Les boutons radio permettent d'afficher le schéma du filtre, sa courbe de gain ou sa courbe de phase.
La liste de droite permet le choix du type de courbe de réponse. Le programme calcule les valeurs des composants en fonction de ce choix. La position "utilisateur" de la liste de droite permet de modifier les valeurs des coefficient Ki.
Les boites de saisie permettent de modifier les valeurs de R et de C.
Il faut valider les entrées dans les boites de saisie.
Pour les filtres de bande du second ordre poser C1 = C5 / n et faire varier n entre 1/100 et 100.