Les angles d'Euler sont surtout utilisés pour le repérage d'un repère Rm mobile x₃y₃z₃ en mouvement par rapport à un référentiel Rf xyz considéré comme fixe. On montre que dans le cas général, il faut trois rotations pour passer de Rm à Rf.
Le choix des angles des rotations n'est pas unique et dépend du problème à étudier.
Attention :
Il existe plusieurs chaînes de rotations utilisées et pour chaque chaîne les noms (ou l'ordre) des angles varient selon les auteurs !
Les angles d'Euler étant très utilisés pour l'étude du gyroscope leurs noms sont liés aux angles caractéristiques du gyroscope.

Nous utilisons ici la chaîne la plus utilisée :
La première rotation (Précession) est une rotation d'angle ψ autour de l'axe Oz dans le plan x O y.
Ox⇒ Ox₁; Oy ⇒ Oy₁; Oz₁ ≡ Oz₁. (matrice de rotation D)
En général les plans x₃ O y₃ et x O y se coupent suivant une droite dite ligne des nœuds. On fait souvent le choix de placer Ox₁ suivant cette ligne des nœuds.
La seconde rotation (Nutation) est une rotation d'angle θ autour de l'axe Ox₁ dans le plan x₁O y₁.
Oy₁ ⇒ Oy₂; Oz₁ ⇒ Oz₂; Ox₂ ≡ Ox₁.(matrice de rotation C)
La troisième rotation (Rotation propre) est une rotation d'angle φ autour de l'axe Oz₂ dans le plan x₂O y₂.
Ox₂ ⇒ Ox₃; Oy₂ ⇒ Oy₃; Oz₃ ≡ Oz₂. (matrice de rotation B)
Les matrices de rotation sont :
L'expression de la matrice produit A = DCB est :

Si les composantes d'un vecteur S dans Ox₃y₃z₃ sont le vecteur colonne s' = (x', y', z')^T, dans Oxyz, elles sont s = (x, y, z)^T avec s = A.s'.
La matrice inverse d'une matrice de rotation φ étant la matrice qui correpond à la rotation −φ, on a A⁻¹ = A^T.
Les colonnes de la matrice A sont les composantes des trois vecteurs unités selon Ox₃, Oy₃ et Oz₃ projetées sur les axes Ox, Oy et Oz.
Les colonnes de la matrice A^T sont les composantes des trois vecteurs unités selon Ox, Oy et Oz projetées sur les axes Ox₃, Oy₃ et Oz₃.

Utilisation
Les grands cercles colorés sont les intersections des plans de rotation avec la sphère de rayon unité.
Utiliser les curseurs pour modifier les angles des rotations.
Le bouton [Animation] permet d'observer la succession des opérations. Pour geler l'animation, faire un clic droit.
Pour modifier l'angle d'observation, faire un clic gauche puis glisser le curseur dans le cadre de l'applette.