Un oscillateur paramétrique est un oscillateur dont l'un des paramètre varie au cours du temps.
On considère un pendule simple de masse M dont la longueur L varie de manière sinusoïdale au cours du temps selon la loi :
L (t) = L0 + A.sin(ω1.t). On admet que les frottements sont visqueux.
On repère la position du pendule par son angle θ avec la verticale. On pose ω02 = g / L0 (pulsation propre du pendule simple).
Pour la mise en équation du mouvement, on utilise le théorème du moment cinétique :
Par projection dur l'axe de rotation, on a :
dσ / dt = - M.g.L(t).sin(θ) - f.dθ / dt = d(M.L2dθ / dt) / dt.
En posant K = f / ML2, on tire :
Cette équation est intégrée numériquement par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 en utilisant les valeurs correctes de L et de la dérivée dL / dt dans les trois étapes du calcul (t, t + pas / 2, t + pas).
Quand dL / dt est négatif (la corde se raccourcit), le terme "résistant" de l'équation devient négatif si les frottements sont faibles : il y a apport d'énergie au pendule et son amplitude augmente.
Au cours d'une période du pendule, le maximum d'efficacité se produit si on diminue la longueur quand le pendule est vertical et si on l'allonge quand la vitesse est nulle.
Il y aura donc deux cycles par période du pendule. Le cas des variations brusques de longueur correspond au problème de l'escarpolette ou du Botafumerio (encensoir de la cathédrale de Saint Jacques de Compostelle assimilable à un pendule simple de longueur variable).
Le problème de l'amplification est ici plus complexe car il y a une variation continue de la longueur du pendule.
Si on excite le pendule avec une pulsation ω1 = 2ω0, on constate que l'amplitude des oscillations augmente puis diminue puis augmente. En effet si l'amplitude des oscillations augmente, la période du pendule augmente et la résonance disparaît pour réapparaître quand l'amplitude diminue.
Si l'on veut continuer à amplifier l'amplitude, il faut modifier la fréquence de l'excitation au cours du mouvement.
Utilisation :
Le curseur jaune permet de modifier la valeur du coefficient de frottement.
Le curseur vert permet de modifier la phase φ de l'excitation.
L'expression de la longueur du pendule est en fait L (t) = L0 + A.sin(ω1.t + φ).
Avec la souris glisser le curseur bleu pour modifier la valeur de la pulsation d'excitation.
Glisser le curseur rouge pour modifier la valeur de l'angle initial du pendule lors du lancement.
Une action sur les curseurs jaune, vert et rouge stoppe l'animation : presser le bouton [Départ] pour redémarrer le mouvement de la masse M.
La vitesse initiale de M est toujours nulle.
Le cercle gris dont le rayon est égal à L0 permet de visualiser l'évolution de la longueur du pendule.
Je n'ai pas représenté le dispositif d'excitation (bielle-manivelle ou came). Le point bleu visualise l'extrémité de la corde, le point gris matérialise le point neutre.
L'animation est stoppée si l'angle du pendule atteint ±180° .
Etude :
Commencer avec ω1 = 2ω0, et un frottement nul et observer la périodicité des variations d'amplitude.
Examiner le rôle du déphasage (le modifier est équivalent à modifier le moment auquel on lâche le pendule).
Examiner le rôle de la fréquence d'excitation et du frottement.
En agissant sur la valeur de la fréquence essayer de faire croître l'amplitude jusqu'à 180°.
Enfoncer le bouton droit pour geler l'animation, le relâcher pour reprendre celle-ci.