On considère deux pendules simples constitués par des sphères en acier de masses M1 et M2. Les suspensions de même longueur sont bifilaires pour obliger les sphères à se déplacer dans un plan.
A l'équilibre, les deux sphères sont tangentes. On pose K = M1 / M2.
Hypothèses :
1) - On suppose que les collisions sont parfaitement élastiques.
2) - On suppose que la période des pendules est indépendante de l'amplitude d'oscillation. Ceci impose de se limiter à des oscillations de faibles amplitudes. Pour mieux visualiser les phénomènes cette condition n'a pas été respectée dans le programme.
Mouvement des pendules :
On écarte la sphère M1 de sa position d'équilibre en élevant son centre de gravité de la hauteur h1 et on la lâche sans vitesse initiale. Montrer en utilisant la conservation de l'énergie mécanique qu'au moment du choc avec M2, la vitesse de la masse M1 est égale à :
V1 = (2.g.h1)½ .
Montrer en utilisant la conservation de l'énergie cinétique (collisions élastiques) et celle de la quantité de mouvement lors du choc, qu'après le choc la vitesse de M1 est :
V'1 = V1.(K − 1) / (K + 1)
et que la vitesse de M2 est :
V'2 = V1.2K / (K + 1).
Si K < 1 V'1 est négatif : M1 rebondit sur M2.
Si K > 1 V'1 est positif mais inférieure à V1. La sphère continue son mouvement vers la droite mais avec une vitesse plus faible. La sphère M2 possède une vitesse positive supérieure à V1.
Si K = 1 V'1 est nul : les deux sphères échangent leurs vitesses.
Après le choc, les deux sphères atteignent les altitudes h'1 = h1.((K − 1) / (K + 1))2 et h'2 = h1.4K2 / (K + 1)2.
Si la période des pendules est indépendante de l'amplitude d'oscillation, le second choc (et les suivants) se produit quand les pendules passent par la position d'équilibre mais les vitesses sont inversées : le mouvement est périodique.
En réalité les chocs ne sont pas parfaitement élastiques (à chaque choc, une partie de l'énergie est dissipée en chaleur) et l'amplitude des mouvements diminue.
Un gadget (Tac-tac) constitué par deux billes d'acier identiques reliées par des fils de même longueur a fait fureur en 1971.
Utilisation :
La liste de choix permet de choisir la valeur du rapport des masses.
Avec la souris glisser le curseur rouge pour modifier la valeur de h1.
Ensuite cliquer sur le bouton [Départ] pour lancer le mouvement.
La case à cocher permet de visualiser les variations d'altitudes des deux masses.
Vérifier (grossièrement) les relations entre h1, h'1 et h'2.
Analyser le mouvement pour K plus petit que 1.
Cliquer sur le bouton droit de la souris pour geler l'animation, relâcher le bouton pour continuer.