On considère deux pendules élastiques identiques constitués par une masse M accrochée à un ressort de raideur K dont la masse est négligeable. Les masses des deux pendules sont reliées par une barre de longueur L et de masse négligeable qui porte en son milieu une masse 4m.
Les variables des équations sont les déplacements x1 et x2 des masses M par rapport à leurs positions d'équilibre statiques.
Soit x = ½(x1 + x2) la variation de la position du centre d'inertie lors des mouvements.
On suppose que l'amplitude des déplacements est assez petite pour que l'on puisse considérer que les masses M se déplacent sur des verticales. Dans ces conditions, l'angle de rotation de la barre est θ = (x1 - x2) / L.
Le mouvement de translation du centre de masse est donné par :
(2M+ 4m).x" + K.x1 + K.x2 = 0.
(M + 2m).(x"1 + x"2) + K.(x1 + x2) = 0. (1)
Soit I = M.L2 / 4 + M.L2 / 4 = M.L2 / 2 le moment d'inertie par rapport au centre de masse.
L'application du théorème du moment cinétique par rapport à ce point donne :
I.θ" + K.x1.cos(θ).L / 2 - K.x2.cos(θ).L / 2 = 0.
Comme l'angle de rotation est petit, cos(θ) est voisin de 1 il vient :
I.θ" + K.(x1 - x2) .L / 2 = 0.
M.(x"1 - x"2) + K.(x1 - x2) = 0. (2)
Somme et différence des équations (1) et (2) donnent finalement :
(M + m).x"1 + K.x1 + m.x"2 = 0
(M + m).x"2 + K.x2 + m.x"1 = 0
On se limite ici à l'étude du régime libre. Pour plus de réalisme, j'ai introduit un terme d'amortissement visqueux dans les deux équations.
Ces équations sont intégrées numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.
Ce système permet de particulièrement bien visualiser les modes symétriques (valeurs initiales des déplacements identiques) et antisymétriques (valeurs initiales opposées).
Le circuit électrique correspondant est constitué par deux circuits LC série couplés par mutuelle induction ou par une troisième inductance.
Utilisation :
Les boutons radio permettent de visualiser soit l'animation du système soit les courbes de variation de x1 et de x2 en fonction du temps.
Les boîtes de saisie permettent de modifier :
a)- Le coefficient d'amortissement visqueux f qui est identique pour les deux ressorts. (f / M peut varier entre 0 et 40 )
b)- Le rapport des masses m et M (variable entre 0 et 4). La valeur 0 correspond aux deux pendules non couplés.
c)- La durée d'étude du système (variable entre 1 et 10 s). Les modifications de cette valeur agissent sur la vitesse de l'animation.
d)- Les valeurs initiales des déplacements x1 et x2. Dans tous les cas, les vitesses initiales sont nulles.
Valeurs utilisées :
M = 1 kg, K = 4.103 J/m. La fréquence propre du système supérieur isolé est donc voisine de 10 Hz.
Étudier le comportement du dispositif en fonction de m, f et des conditions initiales.
Vérifier que les mouvements des deux masses présentent des battements.
Il faut valider après avoir effectué la dernière saisie dans les zones de texte.