On étudie le système constitué par deux pendules de moments d'inertie J₁ et J₂ reliés par des fils dont les constantes de torsion sont C₁, C₂ et C₃. Ce dispositif est équivalent à deux pendules de torsion (J₁, C₁) et (J₂, C₃) couplés par le fil C₂.
A l'équilibre la torsion de tous les fils est nulle.
Les angles de rotation des pendules par rapport à cette position d'équilibre sont θ₁ et θ₂.
Si on néglige l'amortissement, les équations du mouvement sont :
      J₁.d²θ₁ / dt² + C₁θ₁ + C₂(θ₁ − θ₂) = 0 et J₂.d²θ₂ / dt² + C₃θ₂ + C₂(θ₂ − θ₁) = 0
      d²θ₁ / dt² + θ₁.(C₁ + C₂) / J₁− θ₂.C₂ / J₁ = 0 et d²θ₂ / dt² − θ₁.C₂ / J₂ + θ₂.(C₃ + C₂) / J₂= 0.

On cherche des solutions harmoniques de la forme θ(t) = Θ.exp(jωt).
Montrer que les pulsations possibles sont les valeurs propres de la matrice :

Si les valeurs propres sont ω_S et ω_A, la solution est une combinaison linéaire des modes propres d'oscillation :
     θ₁(t) = Θ_A11.exp(jω_A.t) + Θ_A12.exp(−jω_A.t) + Θ_S11.exp(jω_S.t) + Θ_S12.exp(−jω_S.t)
     θ₂(t) = Θ_A21.exp(jω_A.t) + Θ_A22.exp(−jω_A.t) + Θ_S21.exp(jω_S.t) + Θ_S22.exp(−jω_S.t)
Les constantes Θ sont fonctions des valeurs des conditions initiales. (amplitudes et vitesses angulaires initiales).
Le système oscille dans un mode propre quand la solution ne contient qu'une seule pulsation.

Si C₂ = 0, les pulsations propres sont ω₁² = C₁ / J₁ et ω₂² = C₃ / J₂.
Montrer que pour C₂ > 0, on a |ω_S − ω_A| > |ω₁ − ω₂|. Le couplage écarte les fréquences propres.

Cas particuliers :
a)- On prend J₁ = J₂ = J et C₁ = C₂ = C₃ = C. Montrer que ω_S² = J / C = ω₀² et ω_A² = 3.J / C
Si les vitesses angulaires initiales sont nulles montrer que :
Si θ₁(0) = θ₂(0) = Θ_S alors θ₁(t) = Θ_S.cos(ω_S.t) et θ₂(t) = Θ_S.cos(ω_S.t)
Si θ₁(0) = −θ₂(0) = −Θ_A alors θ₁(t) = Θ_A.cos(ω_A.t) et θ₂(t) = −Θ_A.cos(ω_A.t)
Dans la première solution, les pendules sont toujours en phase : c'est le mode symétrique. Dans la seconde, ils sont toujours en opposition : c'est le mode antisymétrique.
b)- Si C2 = 0 (fil sans torsion), on a deux pendules non couplés.
c)- Si C2 = ∞ on a un seul pendule.
d)- Pour des valeurs faibles du couplage et des conditions initiales adaptées, on peut avoir des fréquences propres voisines.
En posant Δω = ½|ω_A − ω_S| et <ω> = ½(ω_A + ω_S), il vient : θ₁(t) = 2Acos(Δωt).cos(<ω>t)
L’amplitude des vibrations de chaque pendule est modulée avec le temps à la fréquence Δω. La fréquence des vibrations est voisine de ω_A et de ω_S. Ce phénomène est appelé battements.
e)- Remarquer que la condition initiale θ₁(0) = θ₂(0) annule toute torsion du fil C₂. Que peut-on en conclure ?

Utilisation
Dans l'applette on prend J₁ = 1 kg.m² et C₁ = 1 N.m/Rd. Les vitesses angulaires initiales sont toujours nulles.
Les équations sont intégrées numériquement par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 avec un pas de 0,05 s.
Dans l'onglet "Animation", le bouton [Valeurs] permet de choisir les valeurs les différents paramètres. Il est alors possible de modifier les valeurs initiales des angles des pendules avec la souris (cliquer sur les points blancs et les glisser avec la souris). Quand le choix des valeurs est terminé, cliquer sur le bouton [Départ] pour lancer l'animation.
Dans l'onglet "Courbes", on peut examiner les courbes θ =f(t).
Le programme affiche les valeurs des pulsations propres calculées à partir du polynôme caractéristique de la matrice.

Suggestions
Examiner les modes symétriques et antisymétriques avec J₁ = J₂ = J et C₁ = C₃ = C. Faire varier C₂ entre 0 et la valeur maximum.
Prendre J₂ / C₃ = J₁ / C₁ et chercher les conditions initiales qui donnent un mode propre.
Avec un couplage faible prendre un angle initial nul. Observer les battements et justifier le choix des conditions initiales.
Avec des valeurs quelconques chercher des conditions initiales qui donnent un mode propre.
Prendre C₃ = 0, J₂ = 5.J₁, C₂ = 1,67.C₁ et θ₁(0) = −θ₂(0)