Un culbuto est un jouet en forme de petit personnage dont la base arrondie est lestée afin qu'il se redresse toujours et revienne à la verticale en oscillant lorsqu'on l'a incliné.
Un culbuto de masse M est modélisé par une demi-sphère de rayon R et de centre C surmontée par un cône. Son centre de gravité G est situé sur son axe de révolution à la distance a = CG. Le culbuto roule sans glisser sur le plan horizontal xOz et le mouvement s'effectue dans le plan de figure xOy. ψ est l'angle entre la verticale et la droite CG qui coupe l'axe Ox en P. A est la projection de C sur Ox. J est le moment d'inertie du culbuto par rapport à un axe horizontal passant par G. Au repos le point P est confondu avec O. Quand on incline le culbuto d'un angle ψ, il est soumis à son poids (appliqué en G) à la réaction R verticale du support appliquée en A et à une force de frottement orientée selon AO. (Sans ce frottement le culbuto va glisser).
Il y a uniquement une rotation donc OC = − Rψ.i + R.j . Or CG = a.sin(ψ).i − acos(ψ).j
Donc OG = (− R.ψ + a.sinψ).i + (R − a.cosψ).j .
La vitesse Vg du point G est d(OG) / dt = (− R + a.cosψ)ψ'.i + a.sinψ.ψ'.j
L'énergie potentielle du système est Ep = − M.g.a.cosψ.
Son énergie cinétique est Ec = EcG + EcRot = ½.M.Vg² + ½.J.ψ'² = ½.M.(J / M + a² + R² − a.R.cosψ) .ψ'²
La conservation de l'énergie permet d"écrire que d(E) / dt = 0.
On en tire : (J / M + a² + R² − a.R.cosψ) .ψ'' + a.R.sinψ .ψ'² + g.a.sinψ = 0
On peut également ajouter un terme d'amortissement visqueux de la forme µ.ψ'.
Cette équation doit être intégrée numériquement. On utilise ici la méthode de Rünge-Kutta à l'ordre 4.
Utilisation
Des curseurs permettent de faire varier
l'angle d'inclinaison initial, la position du centre de gravité et le coefficient d'amortissement.
Une case à cocher permet d'afficher les axes du système.
Cliquer dans le cadre de l'applet pour geler l'animation. Relâcher pour poursuivre.
Vérifier que l'équation différentielle est bien homogène.
Que se passe-t-il si G est confondu avec C ?
Que se passe-t-il si au repos G est au dessus de C ?
Étudier le système pour des petites oscillations. (Vérifier que R.ψ'² est alors négligeable devant la valeur de g).
Données utilisées : J / M = 100 cm². R = 8 cm.
J / M est choisi pour que l'effet de la variation de a sur la période soit bien visible.