Consultez la page Masse soumise à une force centrale pour l'étude mathématique du problème.
Utilisation :
Agir sur les curseurs pour modifier les composantes du vecteur vitesse initial affiché en vert. (unités arbitraires)
Le programme interdit les combinaisons qui conduisent à une trajectoire non fermée.
Des cases à cocher permettent ou non l'affichage des aires, du vecteur vitesse et de l'hodographe.
Vous pouvez vérifier que le vecteur vitesse (tracé à l’extrémité du rayon vecteur) est bien tangent à la trajectoire.
Vérifiez que l’hodographe est un cercle (la force qui s’exerce sur la masse m est une force centrale).
Vérifiez que si la valeur de la vitesse initiale est très proche de la condition d’échappement à l’attraction, la trajectoire est très excentrée et que la période devient très grande (cas des comètes périodiques).
Pour vérifier la troisième loi de Kepler, mesurer en plaçant une feuille de papier sur l’écran la longueur du grand axe de l'ellipse (la distance entre le point de départ et l’origine est toujours égale à 10 unités arbitraires).
Vous pouvez regarder l'animation correspondante Lois de Kepler.
Dans cette seconde applette, on utilise un repère centré sur la masse M et dont l'axe Ox correspond à la position initiale de la masse m (R0 , 0). On utilise les mêmes unités arbitraires ( GM = 1, m = 1).
Dans ces conditions, l'énergie
E = ½m.V² − GMm / R devient E = ½V² − 1 / R.
On se limite aux valeurs négatives de l'énergie pour obtenir une orbite elliptique. On montre que le demi grand axe de l'ellipse
a est tel que a = − GMm / 2E et la période de révolution est P2 = 4π2.a3 / GM. Pour un système donné (M et m), cette période ne dépend que de a et donc que de E. Si le point de départ est fixe, la période de révolution est donc indépendante de la direction du vecteur vitesse initial.
Équation de l'orbite.
Pour une orbite elliptique dont a est confondu avec Ox, l'équation polaire de la trajectoire est r = d / (1 + e.cos θ)
avec d = L² / GMm² et e² = 1 + 2L²E / G²M²m³ .
Si l'axe a fait l'angle ψ avec Ox, l'équation polaire devient r = d / [1 + e.cos (θ − ψ)].
Comme pour θ = 0 on a r = R0 on tire cos(−ψ) = d − R0 / eR0
Utilisation
On peut faire varier R0, V et la direction du vecteur vitesse initiale.
L'orbite est tracée à partir de l'équation polaire. Le déplacement de la masse m est calculé par intégration numérique.
On peut noter que pour les faibles valeurs de
R0 et les valeurs élevées de la vitesse initiale le pas utilisé pour l'intégration est trop grand