Dans certains circuits de montagnes russes, la piste présente une boucle verticale. Pour que les véhicules puissent parcourir cette boucle sans quitter les rails, il faut que leur vitesse initiale à l'entrée de la boucle soit assez grande.
Equations du mouvement :
On assimile le véhicule à un point matériel P de masse M et on néglige les frottements.
Soient C le centre du cercle et θ l'angle entre CP et la verticale et V₀ la vitesse du mobile à l'entrée de la boucle.
Soient i le vecteur unitaire suivant CP et j le vecteur unitaire normal à CP en P.
Soient a l'accélération de P et N le vecteur réaction du support.
Comme on néglige les frottements, N est normal à la trajectoire. Ce vecteur donc est radial.
Le principe fondamental de la dynamique donne :
Ma = N + Mg.
La vitesse du mobile est :
V = R. θ'. j
et son accélération est :
a = −R.θ' ².i + R.θ''.j.

En projettant sur CP on tire : − M.R.θ' ²  = − N + M.g.cos(θ)
Soit : N = M.R.θ' ²  + M.g.cos(θ)       (a)
La conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :
½(M.V² − M.V₀²) = − M.g.R(1 − cos(θ)).
Donc : θ' ²  = − (V₀ / R)² − 2.g.(1 − cos(θ)) / R      (b)
De (a) et (b), on tire :
N = M.V₀² / R + M.g.(3.cos(θ) − 2)      (c)

Mouvements possibles :
On remarque que :
- La vitesse angulaire et donc la vitesse s'annulent pour un angle θ₁ tel que cos(θ₁) = 1 − V₀² / 2Rg.
- La réaction du support N s'annule pour un angle θ₂ tel que cos(θ₂) = (2 − V₀² / 2Rg) / 3 = (2/3).cos(θ₁).
L'angle θ₁ est donc inférieur à l'angle θ₂.
 L'angle θ₁ existe si V₀ < (2Rg)^½. L'angle θ₂ existe si V₀ < (5Rg)^½.
 * Si V₀ < (2Rg)^½ la vitesse s'annule mais la réaction du support reste positive : Le mobile reste en contact avec la boucle et rebrousse chemin.
 * Si (2Rg)^½ < V0 < (5Rg)^½ la vitesse reste positive mais la réaction du support s'annule : La mobile quitte la boucle est tombe en chute libre. (Chute libre avec la vitesse initiale V).
 * Si V₀ > (5Rg)^½ la réaction du support reste positive et le mobile peut décrire la boucle sans quitter le support.

Remarque :
Les frottements modifient uniquement les valeurs des vitesses qui correspondent à une modification du type de mouvement.