On considère un ressort de longueur à vide L et de raideur K auquel on accroche un récipient de masse m₀ contenant une masse M₀ de sable. Un trou permet au sable de s'écouler avec une vitesse que l'on suppose constante. Si la durée totale d'écoulement du sable est μ, la masse totale accrochée au ressort est M(t) = m₀ + M₀(1 − t / μ). On néglige la masse du ressort et on suppose qu'en régime dynamique il y a un amortissement visqueux (proportionnel à la vitesse de M).
En statique, l'allongement du ressort est X₀ avec M(t).g = K.X₀(t).
En dynamique, l'allongement total du ressort est X₀ + x avec m.d²x / dt² + λ.dx /dt + K.x = 0.
La différence par rapport à l'oscillateur harmonique classique est que la masse est ici fonction du temps.

On ne connaît pas l'expression analytique de l'allongement du ressort ΔL(t) = X₀(t) + x(t). On peut formuler néanmoins quelques remarques :
X0 décroît linéairement avec t.
Comme la masse diminue, x diminue même en l'absence d'amortissement.
Enfin la durée de la "période" d'oscillation diminue tant que le sable s'écoule.
L'équation différentielle est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 avec un pas de 5.10⁻³ s.

Utilisation :
Les boutons radio permettent de visualiser soit l'animation soit la courbe ΔL(t).
Les curseurs permettent de faire varier la valeur des coefficients K, λ et μ.
Une case à cocher permet de conserver la masse M₀ constante.
Si la masse est constante, vérifier que l'on obtient un oscillateur amorti à un degré de liberté classique.
En cliquant dans le cadre de la courbe ΔL(t), on fait apparaître deux traits repères et on affiche les valeurs de T et de X = ΔL(t).
Vérifier que la "période" diminue avec t.
Vérifier que même avec un amortissement nul, l'amplitude des oscillations diminue avec t.