La solution générale des équations de propagation des ondes est de la forme :
y(x, t) = f1(t + x / v) + f2(t − x / v).
La fonction f1 correspond à des ondes se déplaçant vers la gauche de l'origine et f2 à des ondes se dirigeant vers la droite.
Il existe des ondes élastiques tranversales et longitudinales et des ondes progressives et stationnaires.
Ondes tranversales et longitudinales.
Dans un milieu élastique excité par des ondes, si les éléments du milieu vibrent dans la direction de propagation, l'onde est longitudinale (ondes acoustiques, ressort ...). S'ils vibrent normalement à la direction de propagation, l'onde est tranversale (corde vibrante ...).
Ondes progressives et stationnaires.
L'équation d'une onde sinusoïdale qui se propage vers la droite dans un milieu infini est :
y(x, t) = Asin(t − x / v).
La longueur finie des milieux étudiés introduit des conditions aux limites se traduisant par l'apparition d'ondes réfléchies aux extrémités. Ainsi pour une corde de longueur L dont les deux extrémités sont fixes la solution doit satisfaire :
y(0, t) = 0 et y(L, t) = 0.
Pour x = 0 : f1(t) = − f2(t) . Pour x = L : f2(t − L / v) = − f1(t + L / v) = f2(t + L / v) .
La fonction f2 (et par suite f1) doit être une fonction périodique de x. Si la valeur de x est changée de L en − L, la fonction doit conserver la même valeur. Sa période est donc égale à 2L.
On envisage les solutions de la forme :
f1(t) = Asin(ω t) et donc f2(t) = − Asin(ω.t) soit : y(x, t) = Asin ω (t + x / v) − Asin ω (t − x / v)
Pour satisfaire les conditions aux limites en L, il faut que 2L.ω / v = k.2.π (avec k entier).
Seules les valeurs ω k = k. π .v / L de la pulsation permettent de satisfaire les conditions aux limites.
La solution cherchée est donc : y(x, t) = 2A.sin(ω kx / v).cos ω kt.
On obtient des ondes stationnaires (ou modes propres) sur la corde. En dehors des extrémités, il existe des points qui restent en permanence immobiles. Ce sont les noeuds. Si l'on suppose qu'une extrémité est fixe et que l'autre est libre, on observe également des ondes stationnaires pour des fréquences qui sont égales à ω k = (k + ½). π.v / L.
Utilisation :
En cliquant sur les boutons du bandeau supérieur, choisissez un type d'onde.
Pour toutes les simulations, la vitesse des ondes est constante mais il est possible de sélectionner la valeur de la fréquence avec une liste de choix.
Pour les ondes transversales, les traits bleus correspondent au mouvement d'une particule du milieu. Concentrez votre attention sur un trait particulier.
Pour les ondes longitudinales, je conseille d'examiner l'écran avec beaucoup de recul avec une vitesse d'animation aussi grande que possible.
Pour rendre les phénomènes visibles, l'amplitude des déplacements est fortement exagérée : les équations de propagation sont valides dans le domaine élastique linéaire.
Ajustez la vitesse d'animation en fonction du processeur utilisé sur la machine hôte.