On considère le régime permanent d'un oscillateur à un degré de liberté amorti par un frottement visqueux de la forme F.dx / dt et excité par une force sinusoïdale F = f₀.sin(Ω.t). L'équation du mouvement est la solution de :

M.d²x / dt² + F.dx / dt + K.x = f₀.sin(Ω.t)

En posant K / M = ω₀², F / M = 2.λ. ω₀², on tire : d²x / dt² + 2.λ. ω₀.dx / dt + ω₀².x = (f₀ / M).sin(Ω.t) (1)
Si l'on ne s'intéresse qu'au régime permanent, il suffit de chercher une solution particulière de la forme :
x =A.cos(Ω.t) + Bsin(Ω.t) = C.sin(Ω.t + φ) = C.[sin(φ).cos(Ωt) + cos(φ).sin(Ωt)] avec C² = A² + B²
Cette fonction est solution de (1) si les coefficients de sin(Ωt) et de cos(Ωt) sont les mêmes dans les deux membres de (1).
On obtient : (ω₀²− Ω²).A + 2.λ. ω₀.Ω.B = 0 et −2.λ. ω₀.Ω.A + (ω₀²− Ω²).B = 0
La résolution de ce système donne :
A = (f₀ / M).(−2.λ. ω₀.Ω) / [ (ω₀²− Ω²)² + (2.λ. ω₀.Ω)²] et B = (f₀ / M). (ω₀²− Ω²) / [ (ω₀²− Ω²)² + (2.λ. ω₀.Ω)²].
En posant z = Ω / ω₀, il vient :
C = (f₀ / K).( 1 / [(1 − z²)² + (2.λ.z)²]) et tg(φ) = −2.λ.z / (1 − z²)
Comme le coefficient (f₀ / K) correspond à la réponse statique, le terme G = 1 / [(1 − z²)² + (2.λ.z)²] correspond au facteur d'amplification de l'excitation.
Montrer que G présente un maximum (dérivée de son dénominateur nulle) si (1 − z²)z. = 2.λ².z
La solution z = 0 correspond à un système non excité.
La seconde solution n'existe que si 0 < λ < ½.(2)^½.
Si λ < 0,707, le dispositif amplifie l'amplitude de l'excitation pour les fréquences voisines de sa fréquence propre ω₀.
Montrer que dans ce cas, le maximum de G(x) à lieu pour y = 1 / (1 − z⁴)^½.
Pour Ω = ω₀.(1 − 2.λ²)^½, il y a résonance d'amplitude.
Pour Ω = ω₀, il y a résonance de phase (réponse et excitation en quadrature).

Utilisation :
Le programme trace en rouge les courbes G(z) et φ(z) avec λ en paramètre.
Les courbes en jaune correspondent à la valeur λ = 0,707.
La courbe en bleu correspond aux valeurs du maximum de G(z).