On considère un pendule simple de masse M_P et de longueur L = 1 m, mobile sans frottements autour d'un axe horizontal, porté par un chariot de masse M_C qui se déplace sans frottements sur des rails horizontaux et normaux à l'axe de rotation. Le point de suspension du pendule est confondu avec le centre de masse du chariot. Ce problème a été traité dans une autre page en faisant l'approximation grossière de négliger la masse du chariot.
Comme on néglige les frottements, la réaction sur les rails est verticale et il n'existe aucune force externe horizontale : L'abscisse du centre de masse est immobile. Elle est prise comme origine des abscisses.
Soient X l'abscisse du centre de gravité du chariot, x celle du centre de gravité du pendule et φ l'angle du pendule avec la verticale.
On peut donc écrire : x = −X + L.sin(φ) et (M_P.x + M_C.X) / (M_P + M_C) = 0.
La vitesse du pendule est v = L.dφ / dt et ses composantes sont v.cosφ et v.sinφ
On en déduit que la vitesse V_C du chariot est liée à la vitesse v par la relation : V_C = − M_P.v.cosφ / (M_P + M_C).

Équations du mouvement :
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l'équation différentielle du mouvement. Comme on néglige les frottements, le plus rapide est d'utiliser la conservation de l'énergie.
Soit φ₀ l'angle initial du pendule au temps t = 0. L'énergie initiale du système est E = − M_P.g.L.cosφ₀.
½.M_C.V_C² + ½.M_P.[(v.cosφ + V_C)² + ( v.sinφ)²] − M_P.g.L.cosφ = E
En utilisant les valeurs de V_C et de v, on tire :
(dφ / dt)² = 2g (cosφ − cosφ₀). (M_P + M_C) / L. (M_C + M_P.sin²φ)
La dérivation de cette relation par rapport au temps conduit, en posant A = M_C + M_P.sin²φ, à l'équation :
dφ² / dt² + g.(M_P + M_C).sinφ / A.L + (dφ / dt)².M_P.sinφ.cosφ / A = 0.
Cette équation n'a pas de solution analytique et doit être intégrée numériquement.
On constate que cette équation ne dépend que du rapport des masses K = M_C / M_P.
Vérifier que pour M_C infinie (chariot bloqué), on retrouve l'équation du pendule simple : dφ² / dt² + g.sinφ / L = 0.
Si le mouvement du chariot est sinusoïdal et si la fonction φ(t) est aussi sinusoïdale, alors la trajectoire du centre de masse du pendule est une branche d'ellipse d'ou le nom donné à ce pendule.

Utilisation :
L'équation différentielle est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Le pas d'intégration utilisé est de 0,01 s.
Avec les curseurs, choisir les valeurs des masses M_C et M_P ainsi que la valeur de l'angle initial φ₀.
Les cases à cocher permettent d'obtenir soit une simulation du mouvement soit le tracé des courbes X = f(t) et φ(t).
Courbes :
Le programme affiche la valeur du rapport K ainsi que la durée T de la période d'oscillation. Comparer cette période à celle du pendule simple de même longueur (1 m).
Pour estimer "l'harmonicité" des mouvements, le programme trace également (en gris) la courbe ψ = φ₀.cos (2.π.t / T).
Faire varier la valeur du rapport entre les masses et l'amplitude initiale.On peut constater que pour les valeurs de φ₀ inférieures à 45° la variation de φ est toujours pratiquement sinusoïdale. Par contre pour les valeurs importantes de φ₀ la variation de X n'est pas du tout sinusoïdale.
Vérifier que si K est grand, le système se comporte comme un pendule simple.
Simulation :
Le programme affiche les valeurs du temps, de l'abscisse du chariot et l'angle du pendule.
Il trace également la trajectoire du pendule. Dans tous les cas cette trajectoire ressemble à une portion d'ellipse.