Pour déterminer la période d'un pendule simple on peut intégrer numériquement l'équation du mouvement.
Si on néglige l'amortissement, il est également possible de déterminer la valeur de la période en fonction de la valeur de l'angle de déviation du pendule à partir de considérations sur l'énergie du pendule.
Le calcul montre qu'il faut pour cela intégrer une intégrale elliptique complète.
Les méthodes classiques d'intégration étant inapplicables pour ce type de fonction, il faut utiliser une méthode spécifique. Voir par exemple Numerical recipes in Pascal Press & all (Cambridge).
Il est aussi possible d'utiliser le développement limité de l'intégrale elliptique qui permet de montrer que la période du pendule simple non amorti se met sous la forme :
T = 2.π.(L/g)½(1 + θ2/16 + ...) (θ = angle de déviation initial)
Relation qui montre que la période croît de façon quasi quadratique avec l'amplitude initiale.
Utilisation :
Le programme trace (en rouge) la courbe de la valeur de la période en fonction de la valeur de l'angle initial.
Un curseur permet de modifier la longueur du pendule simple entre 40 et 250 cm.
Avec la souris, on peut glisser le curseur bleu qui indique la valeur de T en fonction de la valeur de l'angle de déviation initial.
Le programme trace également (en vert) la courbe de la valeur de la période calculée à partir de la formule approchée :
T = 2.π.(L/g)½(1 + θ2/16) en fonction de la valeur de l'angle initial θ.
On constate que ce développement à l'ordre 2 donne un résultat parfait jusqu'à 50°.