Une particularité du triangle de Reuleaux est que l'on peut le faire tourner dans un carré.

Étude cinématique de la rotation d'un triangle de Reuleaux.
On considère un triangle de Reuleaux ABC avec AC = AB = BC = 2 et un carré de coté a = 2.
Les coordonnées des sommets du carré sont (± 1 , ± 1).
On pose d = 2 − 3^½ et φ = l'angle HAC.
Les coordonnées initiales des sommets sont A (− 1, 0); B (1 − d, 1) et C (1 − d, −1).
La valeur initiale est φ = − π / 3.
On déplace A vers le haut.
On a HA² + HC² = AC² = 4. Donc : (ya + 1)² + (xc + 1)² = 4 (a)
La pente de la droite AC est p = tan(φ). ya = p.xa + (yc − p.xc) (b)
La résolution du système (a)-(b) donne les valeurs de ya et xc en fonction de la valeur de φ.
Soit ψ l'angle entre CB et la droite y = − 1. On voit que ψ = − φ + π / 6.
On a (1 + ya) = 2.sin(ψ) et xb − xc = 2.cos(ψ).
On fait croître φ jusqu'à la valeur φ = − π / 6.
On a alors xa = − 1, ya = 1 − d; xc = 0, yc = − 1.
On retrouve la situation initiale à une rotation de − π / 2 et une permutation des sommets près.
Il suffit de déterminer les valeurs des coordonnées de A, B et C pour φ ∈ [− π / 3 , − π / 6] pour déterminer les valeurs de l'ensemble de la trajectoire.
Chaque sommet du triangle décrit un carré aux coins arrondis.
On peut montrer¹ que ces "coins arrondis" sont en fait des portions d'ellipse.
Pour le coin H (− 1, − 1) les équations paramétriques de cette ellipse sont :
x = 1 − cos(α) − 3^½.sin(α) et y = 1 − sin(α) − 3^½.cos(α) avec α ∈ [π / 6, π / 3].
Le centre de gravité du triangle décrit une courbe d'apparence circulaire.
On peut montrer que cette courbe en fait constituée de quatre portions d'ellipse.
Pour le coin inférieur gauche, les équations paramétriques de cette ellipse sont :
x = 1 + cos(α) + 3^½.sin(α) / 3 et y = 1 + sin(α) + 3^½.cos(α) / 3 avec α ∈ [π / 6, π / 3].

Lors d'une rotation complète d'un sommet du triangle dans le sens horaire, le centre de gravité du triangle décrit trois rotations complètes dans le sens anti-horaire.

Application : Une société fabrique des forets qui permettent de percer des trous presque carrés. Un module placé entre la broche et la partie coupante permet d'obtenir le mouvement correct de l'axe de la partie coupante.
L'électro-érosion permet d'obtenir maintenant des trous parfaitement carrés.

Utilisation :
Le programme permet de visualiser le mouvement du triangle ainsi que les trajectoires des points A, B, C et G.
Cliquer dans le cadre de l'applette pour geler l'animation. Relâcher pour continuer.

¹ Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 52-54 and 381-383, 1991.