Cette page présente la composition de deux vibrations sinusoïdales perpendiculaires dont les équations sont :
X = a.cos (ω₁.t) trait jaune
Y = a.sin (ω₂.t − φ) trait vert
Quand le rapport des fréquences F1 et F2 est rationnel, on obtient une courbe fermée nommée courbe de Lissajous.
Le rapport entre les fréquences est égal au rapport des nombres des points de tangence de la courbe avec le rectangle qui la contient.

La liste de choix de gauche permet de modifier la valeur du rapport des fréquences. Celle de droite permet de modifier la vitesse de l'animation.
En pressant sur un bouton (droit ou gauche) de la souris, on peut "geler" l'animation. Celle-ci reprend quand le bouton est relâché.
Les deux vibrations sont représentées par deux vecteurs tournants (en bleu) avec les pulsations ω₁ et ω₂ .

Les vibrations étudiées sont la projection du premier vecteur sur l' axe Ox X = a.cos (ω1.t) trait jaune
et celle du second sur l'axe Oy Y = a.sin (ω2.t − φ) trait vert.

Cliquer sur le bouton droit pour geler l'animation.

Courbes de Lissajous en 3 D

On considère un point qui se déplace sur la surface d'un cylindre et dont les équations paramètriques sont :
X = R.cos (ω.t + φ) ,
Y = R.sin (ω.t + φ) ,
Z = H.sin (Ω.t).
Ce mouvement est la composition d'une rotation uniforme autour de Oz et d'un mouvement sinusoïdal selon Oz.

Si on fait une projection du mouvement sur le plan Y = 0, on obtient :
X = R.cos (ω.t + φ)
Z =H.sin (Ω.t).
qui correspond à une figure de Lissajous plane classique.
Une figure de Lissajous plane est aussi la projection d'une sinusoïde tracée sur un cylindre, sur un plan contenant son axe.

Pour obtenir la projection sur un plan contenant l'axe du cylindre utiliser la souris pour obtenir Ψ = 0°.
Avec la souris faire varier Θ pour modifier le plan de projection. Montrer que c'est équivalent à modifier la phase de la composante X = R.cos (ω.t + φ).