Définition :
L'angle solide Ω d'un cône de sommet A est numériquement égal à l'aire de la calotte sphérique Sc découpée par ce cône sur la sphère de centre A et de rayon unité . Cet angle s'exprime en stéradians (symbole sr).
On peut également dire que si la sphère est de rayon R, l'angle solide sous lequel on voit Sc depuis A est défini par : Ω = Sc / R².
Il est possible d'évaluer cet angle solide à partir de la valeur de l'angle au sommet φ du cône.
Pour évaluer l'aire Sc, on considère une aire élémentaire dS formée par une couronne de rayon R.sinα et d'épaisseur R.dα. L'aire dS est équivalente au rectangle de surface 2π.Rsinα.Rdα. L'intégration de dS entre 0 et φ donne Sc = 2πR².(1 − cosφ).
L'angle solide défini par un cône d'angle au sommet φ est donc Ω = 2π.(1 − cosφ).
L'aire de toute la sphère est égale à 4πR² : La vision complète de l'espace correspond à un angle de 4π stéradians.

Angle solide élémentaire :
Du point O, on observe une surface dS contenant un point M. Soient R = OM, n le vecteur normal à dS, u le vecteur unitaire porté par OM et θ l'angle entre n et u.
L'angle solide élémentaire la grandeur scalaire définie par dΩ = dS.n.u / R² = dS.cosα / R².
Une surface étendue S est vue depuis O sous l'angle solide Ω = ∫∫dΩ.

Applications :
Si OM = R est grand et si la surface est petite, on peut confondre la sphère avec son plan tangent.
Dans ces conditions l'angle solide sous lequel on voit la surface S depuis le point O est Ω = dS.cosα / R².
L'œil humain a une vision de l'ordre de 0,5 sr. Depuis la Terre, le diamètre apparent de la Lune est 0,54° et celui du Soleil 0,52°.
Depuis la Terre, on voit ces deux astres sous un angle solide voisin de 9,4.10⁻³.

Utilisation :
Les boutons radio permettent de choisir entre la visualisation de :
Cône de révolution : Le trait rouge épais correspond à l'intersection du cône et de la sphère. Le programme affiche la valeur de l'angle solide en unité 2π et en sr. (Examiner les cas θ = 0° ; ψ = 0° et θ = 90° ; ψ = 0°)
Distance : On examine une surface S (ici un cercle) d'aire constante avec une distance variable.
Le programme affiche Ω₀ qui est la valeur exacte de l'angle solide et Ω₁ qui est la valeur déduite de la relation Ω = dS.cosα / R². Dans ce cas α est nul.
On peut constater que pour un angle au sommet du cône inférieur à 10°, l'écart entre les deux valeurs est inférieur à 2.10⁻³.
Inclinaison : On laisse constant le rayon de la sphère et on fait varier l'angle α entre n et Ox. Comme R est grand, on peut effectuer la projection de S sur le plan tangent à la sphère. Ω₀ est la valeur de l'angle solide sous le lequel on voit S depuis l'origine de la sphère quand l'angle α est nul.

Applet réalisée à partir d'une suggestion de Bruno VELAY (IUT de Saint Nazaire). Merci pour sa collaboration efficace.