L'arc en ciel est un phénomène complexe qui résulte de réfractions multiples de la lumière dans les gouttelettes d'eau de nuages peu denses et transparents.
On considère les rayons ayant subit deux réfractions et une réflexion dans la goutte.
Le programme trace de tels rayons pour le rouge (n = 1,3307), le vert (n = 1,3334) et le bleu (n = 1,3435).
Dans le cas du tracé en lumière blanche, les valeurs des indices sont fortement modifiées pour augmenter la séparation des rayons et améliorer la lisibilité.
Montrer que la déviation d'un rayon arrivant sur la goutte sous l'incidence i et ayant subit deux réfractions et une réflexion est égale à : D = π − (4.r − 2.i)
Cette déviation présente un minimum quand i varie.
dD / di = 2(1 − 2.dr / di)
mais cos i.di = n cos r.dr
dD / di = 2(1 − 2.cos i / n.cos r)
Cette dérivée s'annule si 2.cos i = n.cos r
Donc dD / di = 0 pour sin2i = (4 − n2) / 3
Pour des gouttes d'eau n est voisin de 4/3 et l'angle α = (D − π) correspondant est voisin de 42°. (Voir la courbe α = f( i ) )
Pour cette direction d'observation, il y a accumulation de lumière. (Pour le voir, choisir "Toutes les incidences").
Comme l'indice est fonction de la longueur d'onde, la direction d'accumulation est aussi fonction de la longueur d'onde de la lumière. A cause de la symétrie de révolution l'observateur voit des arcs colorés. Le rouge est situé à l'extérieur et le violet à l'intérieur. Comme il y a un important recouvrement des rayons, les plages colorées sont délavées. Si le soleil fait un angle supérieur à 42° au dessus de l'horizon, il est impossible d'observer l'arc en ciel. Le fait que le soleil n'est pas une source ponctuelle contribue également au recouvrement des rayons.
En choisissant "Formation" dans la liste de choix, on peut voir la géométrie nécessaire pour que l'on puisse observer le phénomène.
Il est parfois possible d'observer un arc double : le second arc correspond à des rayons ayant subit deux réflexions à l'intérieur de la goutte. Il correspond à un angle d'observation β = π + 2.i − 6.r ; cet angle présente un extremum pour environ 51°.
On voit sur les schémas de l'applet que les couleurs de cet arc sont inversées par rapport à l'arc principal.
Remarque :
Pour faire une étude complète du phénomène il est nécessaire de prendre en compte tous les rayons lumineux. À chaque interface eau-air, il y a un rayon réfléchi et un rayon réfracté. Pour le rayon incident, on a une lumière naturelle que l'on peut considérer comme un mélange de 50 % de lumière polarisée parallèle et de 50 % de lumière polarisée perpendiculaire. À chaque interface, il faut calculer l'intensité de la lumière transmise et de la lumière réfléchie pour chaque type de polarisation en utilisant les relations de Fresnel. On montre ainsi que pour l'arc normal l'amplitude transmise est de l'ordre de 3 % de l'amplitude initiale (composante perpendiculaire) et qu'elle est pratiquement nulle pour la composante parallèle : La lumière d'un arc en ciel est donc fortement polarisée. (Consulter par exemple le BUP n° 749)
Photographie d'un arc en ciel double.
Cliché réalisé le 27/07/2002 vers 19 heures à Villar d'Arène (05) après un orage bref mais violent.
Les couleurs du second arc sont inversées par rapport à celles de l'arc principal.
Le soleil est bien sûr dans le dos du photographe.