Il est possible avec une lentille ellipsoïdale de former un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle placée au second foyer de l'ellipse. Il faut pour cela que l'indice N de la lentille soit l'inverse de l'excentricité de l'ellipse.
On considère l'ellipse d'équation : x2 / a2 + y2 / b2 = 1.
a est le demi grand axe et b le demi petit axe. c = (a2 − b2)½ est la distance entre l'origine et un foyer.
L'excenticité vaut e = c / a.
On rappelle que la normale en un point P (x0 , y0) de l'ellipse est la droite d'équation y − y0 = K.(x − x0) avec K = a2.y0 / b2.x0.
Soit α l'angle ∠0F2P et θ =Arctan(K)
Le rayon F2P arrive en P avec l'angle d'incidence i = θ − α. Il émerge avec l'angle r tel que N.sin( i ) = sin ( r ).
Montrer que si N = 1 / e = a / c alors le rayon émergent est parallèle au grand axe de l'ellipsoïde.
Ce grand axe constitue l'axe optique du système.
Ce dispositif est particulièrement adapté aux diodes électroluminescentes car cette source est pratiquement ponctuelle et la lentille constitue en même temps la protection physique de la diode. En agissant sur les paramètres de l'ellipsoïde, on peut modifier la courbe d'émissivité spatiale de la diode.
Remarque :
Il n'est pas nécessaire que la source soit contenue dans la lentille. Un ménisque
dont la face externe est un ellipsoïde et la face interne une sphère centrée en F2 convient également. En effet un rayon issu de F2 arrive sur le dioptre sphérique sous incidence normale et n'est donc pas dévié par ce dioptre.
Utilisation
Modifier la valeur de l'indice de la lentille pour obtenir un faisceau parallèle au grand axe.
On peut constater que pour les autres valeurs de l'indice cette lentille est entachée par de fortes aberrations géométriques.
Données : a = 15; c = 10;