Une rectiligne arrive sur une lame d'épaisseur e dont les axes sont Ox (axe rapide) et Oy (axe lent). La lame introduit une différence de phase φ = 2π.e.δn / λ entre les composantes de la rectiligne suivant Ox et Oy. En sortie de la lame, on obtient en général une elliptique. Soient α l'angle entre Ox et la direction de la rectiligne et E l'amplitude de celle-ci.

	Entrée de la lame	Sortie de la lame
(a)	x = E cos(α).cos(ω.t)	x = E cos(α).cos(ω.t)
	y = E sin(α).cos(ω.t)	y = E sin(α).cos(ω.t − φ)

Le vecteur amplitude décrit une ellipse contenue dans le rectangle de côtés 2. E cos(α) = 2.a et 2. E sin(α) = 2.b
L'ellipse est caractérisée par E, α et φ.
Au temps t = 0, l'extrémité du vecteur amplitude est située en P (x = a, y = b)

Cette représentation de l'elliptique est la plus naturelle mais il est possible de la caractériser aussi par la direction de ses grands axes A et B et par son excentricité e = B / A.
θ est l'angle entre Ox et l'axe OX et si ψ est l'angle entre OX et OA, on a e = tan(ψ) = B / A.
L'ellipse est caractérisée alors par E, θ et ψ.

Relations entre α, φ et θ, ψ
Si l'origine des temps est le point Q, par rapport à ses grands axes, l'équation paramétrique de l'ellipse est:
X = A.cos(ω.t') et Y = B.sin(ω.t') (b)
Pour comparer les deux représentations, on pose ω.t' = ω.t + τ
Le système (a) devient (c) :
x = a.cos(ω.t' − τ) = a.cos(τ).cos(ω.t') + a.sin(τ).sin(ω.t')
y = b.cos(ω.t' − τ − φ) = b.cos(τ + φ).cos(ω.t') + b.sin((τ + φ).sin(ω.t').
On obtient l'équation de l'ellipse dans le repère xOy en effectuant une rotation d'angle θ autour de O.
x = X.cos(θ) − Y.sin(θ) = A.cos(θ).cos(ω.t') − B.sin(θ).sin(ω.t')
y = X.sin(θ) + Y.cos(θ) = A.sin(θ).cos(ω.t') + B.cos(θ).sin(ω.t') (d)
En identifiant (c) et (d), il vient :

(e)	A.cos(θ) = a.cos(τ)	B.sin(θ) = − a.sin(τ)
	A.sin(θ) = b.cos(τ + φ)	B.cos(θ) = b.sin(τ + φ)

De ces relations, on tire : A² + B² = a² + b² = E² , A.B.cos²(θ) = a.b.cos(τ).sin(τ + φ) et A.B.sin²(θ) = −a.b.sin(τ).cos(τ + φ)
La somme des deux dernières relation donne A.B = a.b.sin(φ).
On a donc : A.B / (A² + B²) = (B / A) / (1 + B² / A²) = sin(φ).(b / a) / (1 + b² / a²)
Or B / A = tan(ψ) et b / a = tan(α).
Donc sin(2ψ) = sin(2α). sin(φ) .
On tire aussi d'une part (A² − B²).cos(2θ) = a² − b² et d'autre part (A² − B²).sin(2θ) = 2.a.b.cos(φ).
tan(2θ) = 2.a.b.cos(φ) / (a² − b²) = 2.cos(φ).(b / a) / (1 − b² / a²)
Donc tan(2θ) = tan(2α). cos(φ) .

Les relations inverses sont :
                                 tan(φ) = tan(2ψ) / sin(2θ) et cos(2α) = cos(2ψ).cos(2θ)

Utilisation
L'élévation au carré des relations (e) introduit des problèmes de signe.
Nous avons fait le choix dans la représentation de choisir les valeurs de θ qui assurent la continuité du tracé de OX. Ce choix implique une permutation des grands axes de l'ellipse lorsque α varie.
Ce choix fait que l'excentricité varie entre −1 et +1.
Les valeurs positives de e correspondent à 0 < φ < π soit à une vibration qui tourne dans le sens direct.