Sur une lame de verre à faces parallèles, on dépose N longues bandes d'épaisseur e d'un matériau transparent d'indice n = 1,35. La largeur de chaque bande est a et les bandes sont séparées par la distance a.
L'ensemble constitue un réseau de phase. Il est est éclairé normalement en lumière monochromatique par une fente, parallèle aux traits, située au foyer image d'un collimateur (lentille L1). On observe la diffraction à l'infini dans le plan focal d'une lentille L2 de distance focale f. Un rayon diffracté suivant l'angle θ frappe le plan d'observation en P avec OP = x = f.tan(θ) ≈ f.θ
Diffraction par une fente de largeur a.
Rappel : Si on pose u = π.a.x / λ.f, l'intensité diffractée en P par une fente de largeur a est : I = a².sin²u / u²
Le maximum principal a lieu pour x = 0 et l'intensité est nulle si u = k.π soit x = k.λ.f / a.
Diffraction par un motif du réseau
Le motif est constitué par deux fentes de la largeur a. La seconde d'épaisseur e et d'indice n introduit par rapport à la première un retard de phase Φ = 2π(n − 1).e / λ
Pour calculer l'intensité en P, il est possible de faire la somme des vibrations élémentaires sur
toute la largeur du motif mais on peut aussi considérer que chaque fente diffracte à l'infini dans la direction θ une amplitude A = a.sin u / u en phase avec la vibration passant par son centre.
La résultante des vibrations passant par la zone d'indice n présente par rapport à celle issue de la zone vide une avance de phase égale à 2π.a.x / λ.f = 2.u liée au décalage vertical des deux zones et un retard Φ = 2π(n − 1) / λ lié à la surépaisseur.
A l'infini dans la direction
θ, on a donc deux vibrations d'amplitude A et
déphasées de Ψ = 2.u − Φ.
Elles interfèrent
en P ou l'intensité résultante est 4A².cos²(Ψ / 2) soit I = (4a².sin²u / u²).cos²(u − Φ / 2).
Dans le cas général la figure
d'interférence est complexe mais il existe deux cas simples :
(n − 1).e = kλ ou Φ = 2k.π
On a alors
I = (4a².sin²u / u²).cos²(u) = 4a².sin²(2u) / (2u)²). C'est l'intensité diffracté par une fente unique de largeur 2a.
(n − 1).e = (2k + 1) λ / 2 ou Φ = (2k + 1).π
On a alors
I = 4a².sin4u / u².
Pour x = 0 l'intensité est nulle
et le centre est noir.
Diffraction par le réseau complet
L'amplitude diffractée par un motif dans la direction
θ est A = (2a.sin u / u).cos(u − Φ / 2).
Deux motifs successifs diffractent la même intensité A avec une différence de phase φ = 2πδ / λ ≈ 2π.2aθ / λ = 4u.
Si l'on somme sur les N motifs du réseau, le calcul classique de la somme de N vibrations déphasées d'un même angle montre que l'intensité est I = (4a².sin²u / u²).(sin² 2Nu / sin² 2u).cos²(u − Φ / 2).
Il existe deux cas particuliers :
Φ = 2k.π. Dans ce cas
cos²(u − Φ / 2) = cos²(u).
Pour u = 0, I = (4a².sin²u / u²).(sin² 2Nu / sin² 2u)
: il ne reste alors que le maximum central.
Pour
u = (2k + 1).π / 2, I = 0
Φ = (2k + 1).π / 2. Dans ce cas
cos²(u − Φ / 2) = sin²(u).
Pour u = 0, I = 0 : Il n'y a plus de maximum central.
On pourra comparer les valeurs de l'intensité avec celles données par un réseau "classique" : I = (a².sin²u / u²).(sin² 2Nu / sin² 2u)
Utilisation
Sous le schéma du dispositif
est affiché le détail du réseau (échelles non respectées).
Des curseurs et des listes permettent de modifier le pas a des fentes, l'épaisseur e du dépot, le nombre N de traits du réseau et la valeur de la longueur d'onde utilisée.
La courbe enveloppe
sin²u / u² est tracée en pointillés bleu.
Données utilisées :
n = 1,40; f = 20 cm
La valeur de n a été choisie pour l'on puisse obtenir des valeurs de
Φ multiples de π quand λ = 640 nm