Rappels :
Soit N(t) le nombre de noyaux d'une espèce donnée présents dans un
échantillon à un instant t quelconque. Comme la probabilité de désintégration
d'un noyau ne dépend pas de la présence des autres
noyau ni du milieu environnant, le nombre total de désintégrations
dN pendant un intervalle de temps dt à l'instant t est proportionnel au nombre
de noyaux de l'espèce N présents et à la durée dt de l'intervalle
: dN = − l.N.dt
Si en t = 0, le nombre de noyaux
était N0, le nombre N(t)
de noyaux présents à un instant t quelconque est N(t) = N0exp( − lt).
Filiation radiactive :
Soit l'isotope A qui se transforme en isotope B selon une constante radioactive
lA. L'isotope B décroît selon la constante
radioactive lB.
pour donner un isotope stable
La décroissance de l'isotope A n'est pas influencée par l'isotope B. Par
contre, la quantité d'isotope B au temps t dépend de la quantité d'isotope A
à l'origine et des deux constantes radioactives lA et lB.
On a donc : dNA = − lANAdt et dNB = lANAdt − lBNBdt
et dNC = − lBNBdt.
Soit N0 le nombre d'atomes A à l'instant t = 0. Par intégration,
on tire :
N0exp( − lAt) ;
NB = N0[exp( − lAt)
- exp( − lBt)].(lA
/ (lB - lA ) si
lB différent de
lA
et NB = N0lA.t.exp( − lAt)
si
lB =
lA
NC = N0 - (NA + NB)
Si la période de l'isotope A est inférieure à la période de l'isotope B quand t est
supérieur à environ 10TA, alors la décroissance de l'isotope B ne dépend plus de l'isotope A.
Si
la période de l'isotope A est supérieure à la période de l'isotope B au bout d'un certain temps, un équilibre de régime est obtenu, tel que :
NB / NA = (lB / (lB - lA )
Si
la période de l'isotope A est très supérieure à la période de l'isotope B
un équilibre est observé au bout d'environ 10 fois la période de
l'isotope A. Les activités des deux isotopes sont alors équivalentes et décroissent selon
la constante radioactive de l'isotope A.
L'applet :
Les unités
sont arbitraires mais l'unité des deux constantes radioactives lA et lB
est l'inverse de celle du temps.
Les curseurs
permettent de choisir les constantes radioactives des isotopes A et B.
En
glissant
la souris dans le cadre de l'applet, on peut déplacer la mire violette.
Étudier divers cas : périodes
voisines, périodes très différentes .
Montrer que dans
le cas particulier des périodes égales, le maximum de l'espèce
B se produit quand
NB = NA au temps t = 1 / lA.
Monter que la courbe de l'espèce B présente alors un point
d'inflexion pour t = 2 / lA