Ondes électromagnétiques stationnaires
Rappels :
Une
onde électromagnétique est caractérisée par
deux composantes vectorielles orthogonales : un champ électrique E
et un champ magnétique H. Cette onde se déplace dans le
milieu avec une vitesse v. Dans le vide la vitesse v est égale à
c qui est la vitesse de la lumière.
Pour une onde polarisée selon Oz et se
propageant selon Ox, on montre (voir un cours sur les équations de Maxwell)
que la solution de l'équation de propagation est de la forme E = f(x).g(t).uz
avec :
a) g''(t) + w².g(t) = 0
b) f ''(x)
+ (w/c)².f(t) = 0
On tire g(t) = A.cos(wt
+j) et f(x) = B.cos(wx/c
+ f)
Soit E(t, x) = E0.cos(wt
+j).cos(wx/c + f).
On
cherche les solutions admissibles quand on place un miroir métallique parfaitement
conducteur normal à Ox en x = 0 et un autre miroir en x = L.
Lors de la réflexion
sur le miroir, la composante tangentielle ET de E est
invariante. Comme dans le miroir E = 0, le champ électrique dans le vide est
nul en x = 0 et en x = L.
E (t, 0) = 0 implique cos(f)
= 0 soit f = ± p/2 ==>
E(t, x) = E0.cos(wt
+j).sin(wx/c).
E (t, L) = 0 implique sin(wL/c)
= 0 soit wL/c = k p
(k entier) ==>
w = k.p.c/L.
La
pulsation est quantifiée. La longueur d'onde est donnée par l
= 2L/k.
En x = 0 et x = L, il doit y avoir un nœud de vibration. Entre
0 et L, il doit y avoir un nombre entier de distances inter-nœuds soit de demi-longueurs
d'onde.
Les pulsations possibles sont les pulsations propres du système.
Finalement
: E(t, x) = E0.cos(wt
+j).sin(k.p.x/L).
Champ
magnétique :
Par projection de l'équation de Maxwell-Faraday sur Oy, on
tire ∂Ez / ∂x= - ∂By / ∂t.
On en déduit que E(t, x) = (E0/c).sin(wt
+j).cos(k.p.x/L).
Utilisation :
On étudie une onde plane
polarisée dans la direction de l'axe Oz et qui se propage dans la direction
de l'axe Ox dans une "cavité" fermées par deux miroirs métalliques
normaux à Ox placés en x = 0 et x = L.
Le champ électrique
est représenté par les traits rouges et le champ magnétique
par les traits bleus.
Pour modifier l'angle d'observation, cliquez sur le bouton
gauche de la souris puis glissez le curseur de la souris dans le cadre de l'applet.
Pour
faire une pose dans l'animation, enfoncez le bouton droit de la souris.
Bien noter le déphasage
temporel et spatial entre les champs électriques et magnétiques.
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