Oscillateur paramétrique mécanique
Présentation :
Un oscillateur
paramétrique est un oscillateur dont l'un des paramètre varie au cours du temps.
On
considère un pendule simple de masse M dont la longueur L varie de manière
sinusoïdale au cours du temps selon L (t) = L0 + A.sin(w1.t).
On admet que les frottements sont visqueux.
On repère la position du pendule
par son angle q avec la verticale. On pose w02
= g / L0 (pulsation propre du pendule simple).
Pour la mise en équation
du mouvement, on utilise le théorème du moment cinétique :
Par projection dur
l'axe de rotation, on a :
ds/dt = - M.g.L(t).sin(q)
- f.dq/dt = d(M.L2dq/dt)
/ dt.
En posant K = f / ML2, on tire :
Cette équation est intégrée numériquement par la méthode de Runge-Kutta à
l'ordre 4 en utilisant les valeurs correctes de L et de dL/dt dans les trois
étapes du calcul (t, t + pas/2, t + pas).
Quand dL/dt est négatif (la corde
se raccourcit), le terme "résistant" de l'équation devient négatif
si les frottements sont faibles : il y a apport d'énergie au pendule et son
amplitude augmente. Au cours d'une période du pendule, le maximum d'efficacité
se produit si on diminue la longueur quand le pendule est vertical et si on
l'allonge quand la vitesse est nulle. Il y aura donc deux cycles par période
du pendule. Le cas des variations brusques de longueur correspond au problème
de l'escarpolette ou du Botafumerio (encensoir de
la cathédrale de Saint Jacques de Compostelle assimilable à un pendule simple
de longueur variable).
Le problème de l'amplification est ici plus complexe
car il y a une variation continue de la longueur du pendule.
Si on excite
le pendule avec une pulsation w1 = 2w0,
on constate que l'amplitude des oscillations augmente puis diminue puis augmente. En effet si l'amplitude des oscillations augmente, la période du pendule
augmente et la résonance disparaît pour réapparaître quand l'amplitude diminue.
Si l'on veut continuer à amplifier l'amplitude, il faut modifier la fréquence
de l'excitation au cours du mouvement.
Utilisation :
Le curseur jaune permet de modifier la valeur du coefficient
de frottement.
Le curseur vert permet de modifier la phase j
de l'excitation. L'expression de la longueur du pendule est en fait L (t) =
L0 + A.sin(w1.t + j).
Avec
la souris glisser le curseur bleu pour modifier la valeur de la pulsation d'excitation.
Glisser le curseur rouge pour modifier la valeur de l'angle initial
du pendule lors du
lancement.
Une action sur les curseurs jaune, vert et rouge stoppe l'animation
: presser le bouton [Départ] pour
redémarrer le mouvement de la masse M..
La vitesse initiale de M est toujours nulle.
Le cercle gris
dont le rayon est égal à L0 permet de visualiser l'évolution de la longueur
du pendule.
Je n'ai pas représenté le dispositif d'excitation (bielle-manivelle
ou came). Le point bleu visualise l'extrémité de la corde, le point gris matérialise
le point neutre.
L'animation est stoppée si l'angle du pendule atteint ±180° .
Etude
:
Commencer avec w1 = 2w0,
et un frottement nul et observer la périodicité des variations d'amplitude.
Examiner le rôle du déphasage (le modifier est équivalent à modifier le moment
auquel on lâche le pendule).
Examiner le rôle de la fréquence d'excitation
et du frottement.
En agissant sur la valeur de la fréquence essayer de faire
croître l'amplitude jusqu'à 180°.
Enfoncer le bouton droit pour geler l'animation, le relâcher
pour reprendre celle-ci.
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