Clothoïde
La clothoïde est une courbe utilisée sur les routes et les voies de chemin
de fer pour raccorder une droite à un cercle. Cette courbe est plus connue sous
la dénomination "Spirale de Cornu".
C'est la trajectoire
suivie par une voiture qui roule à vitesse constante V et dont le conducteur
tourne le volant à une vitesse aussi constante.
En effet le raccordement direct
d'une droite à un cercle de rayon R pose beaucoup de problèmes : il faut tourner rapidement
le volant et les passagers sont soumis brutalement à l'accélération radiale
(V2/R).
Propriétés
:
On prend l'origine des temps au début de la clothoïde. On considère le
point M de celle-ci. Soit L la longueur curviligne de la courbe L et t
le temps mis pour parcourir L = OM.
Comme la vitesse est constante, on a
: V = dL/dt.
Soit j l'angle de la tangente
à la courbe.
On modifie l'angle de braquage w
= dj/dt de façon linéaire donc dw/dt
= d2j/dt2 = Constante.
Comme
dL/dt est aussi une constante, on a d2j/dL2
= Constante.
Par convention, on pose d2j/dL2
= 1/C2. Par intégration on obtient L/C2 = dj/dL
et j = L2/2C2.
Par
définition le rayon de courbure R est dL/dj . Donc
R = C2/L ou RL = C2.
On en
déduit les équations différentielles paramétriques de la courbe :
dx = cos(j).dL
et dy = sin(j).dL qui correspondent à celles de la spirale
de Cornu.
Il n'existe pas de solution analytique à ce problème et il
faut procéder par intégration numérique.
Il existe des tables donnant x (L)
et y(L) pour diverses valeurs de C.
Un célèbre programme de dessin industriel
possède maintenant un module permettant le tracé des raccordements entre des droites,
des droites et des arcs de cercles par des clothoïdes.
Remarque : il faut
aussi calculer le dévers (variable avec L puisque l'accélération radiale croît
avec L) de la voie de circulation pour que la réaction du véhicule soit si possible
normale à la voie.