Il est plus simple de poursuivre le calcul en notation complexe.
En sortie
de L1, P1 l'amplitude complexe est :
A1
= ½.a.[ 1 + exp(-jj)]
L'épaisseur de la seconde
lame étant double de la celle de la première, elle introduit un déphasage double.
A
la sortie de la seconde cellule l'amplitude complexe est donc :
A2
= ½.A1.[ 1 + exp(-j2j)] = ¼.a.[ 1 + exp(-jj)
+ exp(-j2j) + exp(-j3j)]
De
même à la sortie de la Nieme cellule l'amplitude complexe est :
AN
= a.[ 1 + exp(-jj) + ... + exp(-j2(N-1)j)]/2N.
On reconnaît une série géométrique. Un calcul classique permet de déterminer
l'amplitude. On trouve :
aN = a.[sin(2N.j/2)]/[2N.sin(j/2)]
L'intensité transmise par le filtre est donc :
On peut noter l'analogie entre cette relation et celle qui donne
l'intensité transmise par un réseau.
Le tracé des courbes montre que dès
que N est supérieur à 3 le dispositif ne transmet une intensité notable que
pour les radiations telles que j = 2kp
(k entier).
Par exemple pour N = 2 l'intensité des maxima secondaires est
déjà inférieure à 8%.
Ce système joue le rôle d'un monochromateur dont la
bande passante est d'autant plus faible que N est grand.
Remarque : A cause
de l'absorption des polariseurs il est difficile de prendre N supérieur à 4.
Radiations
transmises :
Exemple : On utilise une série de lames avec e = 270 µm.
La différence entre les indices lent et rapide est 10-2. La différence
de marche introduite par L1 est donc 2,7 µm
Les radiations transmises sont
telles que j = 2kp = 2p.d/l.
Soit l = d/k.
Déterminer
l'ordre d'interférence p = d/l aux extrémités du
spectre (0,4 µm et 0,8 µm) et en déduire la valeur des longueurs d'onde transmises.
Réponse
: 0,450 µm; 0,540 µm et 0,675 µm.
Bernard LYOT (1897-1952) Astronome et opticien français.