Une charge de masse m et de charge q est placée dans un champ magnétique uniforme normal au plan de figure. A l'instant initial t = 0, la vitesse de la charge, contenue dans le plan de figure, est V₀ orientée selon 0x.
On suppose que la charge est soumise à un frottement visqueux.
Ce frottement rend compte de manière phénoménologique des effets du rayonnement et des interactions avec la matière.
Si le frottement est négligeable on obtient une trajectoire circulaire.
L'équation du mouvement de la charge soumise à la force magnétique est : m.dV / dt = q.V ∧ B − k.V
Par projection sur les axes Ox et Oy, on obtient le système :
m.d²x / dt² = q.B.dy /dt − k.dx / dt et m.d²y / dt² = q.B.dx /dt − k.dy / dt (a)
On peut résoudre ce système d'équations couplées en utilisant la méthode de la variable complexe z = x + j.y déjà utilisée pour le cas sans frottement.
On pose ω = q.B / m (pulsation cyclotron), τ = m / k, 1 / σ² = 1 / τ² + ω² et φ = arctan(τ.ω)
Au final, la solution est : x = σ.Vo.[cos(φ) − exp(− t / τ).cos(ω.t + φ) et y = σ.Vo.[−sin(φ) + exp(− t / τ).sin(ω.t + φ).
Il existe également une méthode d'intégration qui permet d'obtenir la trajectoire sous sa forme polaire. On obtient l'équation polaire d'une spirale logarithmique.
Dans le programme, le système (a) est intégré numériquement par la méthode de Runge-Kutta.

Utilisation
Toutes les unités sont arbitraires.
Utiliser les sliders pour faire varier les divers paramètres.
Examiner le rôle des signes de la charge et du champ magnétique sur la trajectoire.
Examiner les cas particuliers k = 0, q = 0, B = 0.

On retrouve ce type de trajectoires sur les clichés de chambres à bulles. Examiner par exemple cette image