Impédance d'un quartz


Le quartz est de la silice (SiO2) qui cristallise dans la classe 32 (non centrosymétrique).
On sait réaliser de façon industrielle la synthèse de monocristaux de quartz de haute pureté. C'est un matériau piézoélectrique. Une lame de quartz avec deux faces opposées métallisées soumise à une différence de potentiel se déforme. Inversement si la lame est soumise à des contraintes mécaniques, il apparaît une différence de potentiel entre les deux armatures.
Cet effet dont l'intensité est fonction de la façon dont la lame est taillée est utilisé dans de nombreux capteurs. On utilise beaucoup le quartz pour constituer des oscillateurs très stables.
Dans ce cas, on applique une tension alternative entre les électrodes de la lame. La lame vibre à la fréquence de l'excitation. Pour certaines fréquences, on peut obtenir un système d'ondes stationnaires : il y a résonance.
Électriquement, ce comportement peut être modélisé par un condensateur Co (capacité des électrodes séparées par un diélectrique et des fils de liaisons) en parallèle avec un circuit série Rm, Lm et Cm qui correspond aux grandeurs motionnelles. Ce circuit série représente le couplage électromécanique lié à l'effet piézoélectrique. On verra que les valeurs numériques des constantes motionnelles ne correspondent pas aux valeurs usuelles des composants électriques.
Ce circuit présente un minimum d'impédance et un maximum d'impédance qui correspondent à une fréquence de résonance et une fréquence d'antirésonance.
Résonance :
 Si Lm.ω = 1/Cm.ω, l'impédance de la branche supérieure est égale à Rm qui est toujours très inférieure à 1/Co.ω.
La fréquence de résonance est égale à Fr = 1 / [2π.(Lm.Cm)½].
Antirésonance :
Pour simplifier, on néglige Rm. Le calcul de l'admittance (circuit parallèle) montre que l'impédance est maximum pour la valeur
Fa = 1 / [2π.(Lm.Ce)½] avec Ce = Cm.Co / (Cm + Co).
 Valeurs typiques pour différents quartz :

Fréquence

Rm (ω)

Lm (H)

Cm (f F 10-15 F)

Co (pF 10-12 F)

Q = Lm.ω / Rm

32768 Hz

32000

7860

3

1,5

50000

100 kHz

400

50

50

8

80000

1 MHz

240

4

6

3

110000

10 MHz

5

0,01

30

8

100000

Au vu de ces valeurs, on constate que Cm est beaucoup plus petit que Co et que les fréquences de résonance et d'antirésonance sont donc très proches.
Les constantes motionnelles sont fonction de la température. Si l'on veut obtenir un oscillateur très stable, il faut stabiliser sa température.
On constate que la valeur de Co influe très peu sur la valeur de la fréquence de résonance : La longueur des fils de liaison du quartz à l'oscillateur n'est donc pas critique.


Utilisation :
Le programme  trace numériquement la courbe d'impédance (rouge) et la courbe de déphasage tension-courant (vert) pour un quartz d'horlogerie* :
Valeurs utilisées : Lm = 7868,0 H; Cm = 3,0000 f F; Rm = 30000 Ω; Co = 3,0000  pF.
 Pour les impédances, l'échelle utilisée est logarithmique.
Quand on déplace le curseur bleu, le programme affiche les valeurs de la fréquence, de l'impédance et du déphasage.
On peut noter la proximité des valeurs des fréquences de résonance et d'antirésonance.
Avant Fr et après Fa, le déphasage est voisin de − 90° ce qui correspond à un circuit purement capacitif.
Entre Fr et Fa, la phase est voisine de +90° ce qui correspond à un circuit inductif.
* Par une succession de divisions de fréquence par 2 ( 32768 = 215 ), ce quartz donne un oscillateur de fréquence exactement égale à 1 Hz (période 1 s)