Le système étudié ici est purement théorique mais c'est le plus simple que l'on puisse envisager pour l'étude de couplages multiples entre des oscillateurs. On trouvera la description d'un dispositif un peu plus complexe (chaîne de pendules reliés par des ressorts) mais effectivement réalisable dans l'article de R. Duffait paru dans le BUP n° 867 (octobre 2004).
On considère une chaîne de N masses identiques, équidistantes de a au repos et reliées par des ressorts identiques de raideur k. On pose ω0 = (k / m)½. Cette quantité correspond à la pulsation d'un oscillateur unique. Pour étudier la mise en équations et la résolution du système consulter la page pdf
Il est relativement simple de déterminer les N fréquences propres du système mais il faut bien noter que la solution dans le cas général est une combinaison linéaire de termes correspondants à l'ensemble des N fréquences propres l'amplitude de chaque terme étant fonction des conditions initiales.
En régime forcé, un tel système va présenter une résonance à chaque fois que la fréquence d'excitation sera égale à une fréquence propre.
Pour ce système simple (masses et ressorts tous identiques), il est assez facile de calculer la relation de dispersion et d'en déduire les valeurs des fréquences propres. Pour des dispositifs plus complexes (masses et ressorts différents) seule la diagonalisation de la matrice est utilisable.
Rappel : Un système est dispersif quand la vitesse de propagation des ondes est fonction de la fréquence de l'onde. Si le signal n'est pas une onde pure il se déforme en cours de propagation.
Remarque : Les cas N = 2 et N = 3 sont traité complètement dans la pages 2 oscillateurs et 3 oscillateurs. On peut y voir en particulier l'influence des conditions initiales et de la superposition des modes propres.
Utilisation :
Les liste de choix permettent de la sélection du nombre N de masses et celle du mode.
La fenêtre du haut représente l'évolution du phénomène avec le temps.
Comme les vibrations longitudinales sont souvent difficiles à visualiser, dans la fenêtre du bas j'ai représenté l'évolution temporelle des déplacements de chaque masse par rapport à sa position d'équilibre.
Pour le calcul des vecteurs propres et des valeurs propres nous avons utilisé la méthode de Jacobi. On trouvera une excellente description de cette méthode dans "Méthodes mathématiques pour calculateur arithmétique" de A. Ralston (Dunod 1965).
Le code en Fortran, C et Pascal est disponible dans les différentes versions de "Numerical Recipes" de A. Press et al (Cambridge University Press)