On examine les conditions d'équilibre d'une échelle appuyée contre un mur. Le coefficient de frottement sur le sol est µS et celui contre le mur est µM. Le centre de gravité de l'échelle de longueur L est en son milieu O.
L'échelle est soumise à son poids Mg appliqué en O et aux réaction du sol et du mur. On peut décomposer ces réactions en une partie normale au support (RS et RM) et une partie parallèle au support (FM et FS).
Les valeurs maximum de
FM et FS sont :
FM = µM.RM et FS = µS.RS. (1)
Quand l'échelle est en équilibre, la somme des forces appliquées est nulle. Mg + FM + FS + RM + RS = 0
En projettant sur l'horizontale et la verticale, on tire : − Mg + FM + RS = 0 et FS − RM = 0. (2)
Le moment des forces autour d'un point quelconque est également nul.
Si l'on prend le centre de gravité de l'échelle, on tire :
M(RS) − M(RM) − M(FS) − M(FM) = 0
½.L.RS.cosφ − ½.L.RM.sinφ − ½.L.FS.sinφ − ½.L.FM.cosφ = 0
RS.cosφ = RM.sinφ + FS.sinφ + FM.cosφ = 0. (3)
La valeur limite de l'angle φ qui permet l'équilibre correspond aux valeurs maximales du frottement.
En plaçant les valeurs tirées de (2) dans (3), on tire :
RS.cosφ = 2.RM.sinφ + FM.cosφ = 0. (4)
Des relations (1), on tire : RM = µS.RS et FM = µS.RS = µS.µM.RS
En substituant dans (4), il vient ; 2.µS.sinφ = (1 − µS.µM).cosφ
La valeur limite φlimite de l'angle φ est telle que tan φ = (1 − µS.µM) / 2.µS
Si la valeur de φ est inférieure à φlimite l'échelle glisse vers le sol.