La solution générale des déplacements d’une corde vibrante est de la forme :

y(x, t) = f₁(t + x / v) + f₂(t  −  x / v) 

La fonction f₁ correspond à des ondes se déplaçant vers la gauche de l’origine et f₂ à des ondes se dirigeant vers la droite.
On considère une corde de longueur L dont les deux extrémités sont fixes.
La solution doit satisfaire :
y(0, t) = 0 et y(L, t) = 0.
Pour x = 0 : f₁(t) = − f₂(t) 
Pour x = L : f₂(t −  L / v) = − f₁(t + L / v) = f₂(t + L / v) 
La fonction f₂ (et par suite f₁) doit être une fonction périodique de x. Si la valeur de x est changée de L en − L, la fonction doit conserver la même valeur. Sa période est donc égale à 2L.
On envisage les solutions de la forme f₁(t) = Asin(ω t) et donc f₂(t) = − Asin(ω t) soit :

y(x, t) = Asin ω (t + x / v) − Asin ω (t − x / v)

Pour satisfaire les conditions aux limites en L, il faut que 2L.ω / v = k.2 π (avec k entier)
Seules les valeurs ω _k = k. π .v/L de la pulsation permettent de satisfaire les conditions aux limites.
La solution cherchée est donc :

y(x, t) = 2A.sin(ω _kx / v).cos ω _kt.

On obtient des ondes stationnaires (ou modes propres) sur la corde. En dehors des extrémités, il existe des points qui restent en permanence immobiles. Ce sont les noeuds.
Si l’on suppose qu’une extrémité est fixe y(0, t) = 0 et que l’autre est libre (pente nulle pour x = L, on observe également des ondes stationnaires pour les fréquences ω _k = (k + ½). π.v / L.

Utilisation :
Ce programme utilise exactement le même moteur que le programme Corde vibrante. Le calcul de la forme de la corde au temps t + 1 utilise les valeurs de la forme aux temps t et t − 1.
J'ai uniquement modifié l'aspect de la corde au temps t = 0 en prenant la fonction sinusoïdale y(x, 0) = sin(k.π.x / L) étalée entre 0 et L à la place d'une déformation localisée.
Vous pouvez modifier le nombre de noeuds et les conditions aux limites (extrémité droite fixe (k entier) ou libre (k entier + ½)).