Il faut utiliser un repère adapté aux symétries du problème étudié car un choix correct facilite en général les calculs.

Coordonnées cartésiennes ou rectangulaires :
On considère un trièdre trirectangle direct Ox, Oy et Oz. Sur chaque axe, on prend les vecteurs unitaires i, j et k qui constituent une base orthonormée. Un point P est repéré par le vecteur OP = x.i + y.j +z.k.
L'expression du volume infinitésimal est dV = dx.dy.dz.

Coordonnées cylindriques :
C'est l'extension des coordonnées polaires par adjonction de la coordonnées z.
On considère un trièdre trirectangle direct Ox, Oy et Oz. Soit H la projection du point P étudié sur le plan Oxy.
On pose OH = r , θ l'angle entre Ox et OH et HP = z.
Si en P, on définit la base locale orthonormée ur ( // à OH) , uθ (normal à OH) et uz ( // à Oz), on a :
Le point P est repéré par le vecteur OP = r.ur + z.uz.
On passe des coordonnées cylindriques aux coordonnées rectangulaires par les relations :
X = r.cosθ, Y = r.sinθ et Z = z;
L'expression de la surface infinitésimale est dS = r.dθ.dz.
Attention à ne pas écrire dS = dθ.dz
L'expression du volume infinitésimal est dV = r.dθ.dz.dr.

Coordonnées sphériques :
On considère un trièdre trirectangle direct Ox, Oy et Oz. Soit H la projection du point P étudié sur le plan Oxy.
On pose OP = r , φ l'angle entre Ox et OH et θ l'angle entre Oz et OP.
Ce choix du nom des angles est souvent utilisé en physique. Le choix inverse est souvent utilisé en astronomie.
Si en P, on définit la base locale orthonormée ur , uφ et uθ, on a : OP = r.ur
On passe des coordonnées sphériques aux coordonnées rectangulaires par les relations :
X = r.sinθ.cosφ, Y = r.sinθ.sinφ et Z = r.cosθ;
L'expression de la surface infinitésimale est dS = r².sinθ. dφ.dθ.
Attention à ne pas écrire dS = r².dφ.dθ
L'expression du volume infinitésimal est dV = r².sinθ. dφ.dθ.dr.

Utilisation

Faire varier les divers paramètres avec les sliders.
Deux cases à cocher permettent de visualiser la base locale et la surface infinitésimale dS.
Afin de ne pas surcharger la figure, dV n'est pas représenté.

En coordonnées polaires, le programme oriente la figure en faisant Θ = 270°, Φ = 90°. Ne pas glisser la souris dans le cadre pour conserver ces valeurs.