Lame cristalline entre deux polariseurs.
On éclaire en lumière monochromatique une lame cristalline à faces parallèles placée entre deux polariseurs. Les lignes neutres de la lame sont Oy (axe lent) et Oz (axe rapide).
La source est figurée par le gros point jaune mais la lame est éclairée par une onde plane.
Les directions de transmission des polariseurs OP et OA font avec Oy les angles α et β.
A la sortie du polariseur, on a une rectiligne s = a.cos(ωt). (trait rouge épais)
Ses composantes sur les axes de la lame sont : y = a.cos(α).cos(ωt)  et z  = a.sin(α).cos(ωt) (représentées en cyan)
Les indices de propagation sont différents selon Oy (n₁) et Oz (n₂). La différence (n₂ − n₁) est la " biréfringence " de la lame.
La différence de phase introduite par la traversée d'une lame d'épaisseur e est donc : φ = 2πe(n₂ − n₁) / λ.
Après la lame on obtient (sauf cas particuliers) une vibration elliptique dont les composantes sont :
y = a.cos(α).cos(ωt' − φ)  et z  = a.sin(α).cos(ωt') (représentées en jaune).
Le vecteur somme est représenté en rouge et la trajectoire de son extrémité en vert.
L'analyseur transmet les projections de ces vibrations sur OA.
La vibration transmise (trait rouge épais) est la somme des vibrations :
a.cos(α).cos(β).cos(ωt" − φ)  = a.cos(α).cos(β).[cos(ωt" ).cos(φ) +  sin(ωt" ).sin(φ)] et a.sin(α).sin(β).cos(ωt)
En utilisant les résultats du rappel ci-dessous, vérifier que l'intensité transmise est :

 I = I₀.[cos²(α + β) + sin(2α).sin(2β).cos²(φ / 2)]

Cas particuliers :
1)- Polariseur et analyseur parallèles.    L'expression de l'intensité est : I = I₀.[cos²(2α ) + sin²(2α).cos²(φ / 2)].
Le contraste est maximum si α = 45°. La valeur de l'intensité est alors I = I₀.cos²(φ / 2).
2)- Polariseur et analyseur croisés.   L'expression de l'intensité est : I = I₀.[sin²(2α).sin²(φ / 2)].
Le contraste est maximum si α = 45°. La valeur de l'intensité est alors I = I₀.sin²(φ / 2).
3)- Lames onde,  demi-onde, quart d'onde.
Examiner les cas des lames onde (déphasage nul) demi-onde (180°) et quart d'onde (90°).

Rappel : Somme de deux vibrations parallèles.
Soient deux vibrations parallèles cohérentes s₁ = A.cos(ωt) et s₂ = B.sin(ωt). (1)
La résultante est une vibration de même pulsation mais déphasée :
s = a.cos(ωt − φ) = a.cos(ωt).cos(φ) + a.sin(ωt).sin(φ) (2)
En identifiant les membres de (1) et (2), on tire : A = a.cos(φ) et B = a.sin(φ)
et donc a² = A² + B².
On peut retrouver rapidement ces résultats en utilisant la représentation de Fresnel.

Remarque :
Pour faciliter la compréhension, le champ électrique à l'entrée de la lame est représenté en phase avec le champ à la sortie du polariseur. De même, les composantes du champ selon l'axe rapide (Oz) à l'entrée et à la sortie de la lame sont représentées en phase. Enfin le champ électrique à la sortie de la lame est représenté en phase avec le champ sur l'analyseur..

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Utilisation :
Les sliders permettent de modifier l'orientation du polariseur, celle de l'analyseur et la valeur du déphasage introduit par la lame.
Le programme affiche la valeur de l'intensité transmise et un carré de la teinte observable à la sortie de l'ensemble.

Choix de la direction d'observation :
Dans le programme, on décrit le système dans un repère Oxyz. L'observateur O' se déplace autour de O et l'écran de projection est normal à la direction OO'. OO₁ est la projection de OO' sur le plan Oxy. φ est l'angle entre OO' et OO₁, θ est l'angle entre Ox et OO₁.

Avec la souris faire θ = 0° et φ = 0°. Ceci permet de visualiser les phénomènes dans un plan parallèle à celui de la lame.
Examiner les cas particuliers qui correspondent souvent aux conditions d'utilisation d'une lame cristalline.