Triangle de Sierpinski

Le triangle de Sierpinski est une courbe fractale décrite par W. Sierpinski en 1915.
Il existe plusieurs façon de la générer. Une méthode consiste à partir d'un triangle de Pascal dont on réunit les cellules impaires.
La méthode la plus classique consiste à partir d'un triangle équilatéral. On relie les milieux des trois côtés on obtient alors 4 triangles. On ignore le triangle central et on itère avec les trois triangles restants.

Globalement à une étape donnée, le triangle est la réunion de trois copies de lui-même après réduction d'un facteur deux.
Le triangle de Sierpinski est une courbe d'aire nulle et de périmètre infini :

La suite des périmètres est donnée par P(n + 1) = 3 x (P(n) / 2). Elle tend vers l'infini.
La suite des aires est donnée par A(n + 1) = 3 / 4 x A(n) . Elle tend vers zéro.

On peut faire la même construction avec un triangle quelconque ou un autre polygone.

Pour programmer la construction de la courbe, la méthode récursive est la plus aisée à mettre en œuvre