Pour représenter, plus finement que dans le modèle harmonique, l'énergie potentielle d'une molécule dipolaire, on peut utiliser la formule empirique de Lennard-Jones : Ep(r) = E0.[(r0 / r)12 −2.(r0 / r)6] dans laquelle r0 désigne la distance d'équilibre.
Par exemple pour l'oxygène, on a : E0 = 160.10-23 J et r0 = 3,9 Å.
Le terme attractif en (1 / x)6 correspond aux forces de van der Walls mais le terme répulsif en (1 / x)12est purement empirique.
Pour cette étude, on pose x = r0 / r et U(x) = Ep / E0 = [(1 / x)12 −2.(1 / x)6]
Comme pour le potentiel de Morse, on étudie le mouvement d'une particule de masse m soumise à une force F(x) qui dérive du potentiel U, F(x) = 12[(1 / x)13 − (1 / x)7].
Si l'on néglige toute forme d'amortissement l'équation du mouvement est : m.d2x / dt2 + F.x = 0 (1)
Il n'existe pas de solution analytique au problème et il faut faire une intégration numérique. On utilise ici la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Pour cette intégration, il faut préciser les conditions initiales. On prend à l'instant t = 0, v = 0.
L'énergie totale de la particule étant E = Ep + Ec = Ep(x) + ½.m.v2, en t = 0, on a E = Ep. Pour trouver la valeur initiale de x, il faut résoudre U =
[(1 / x)12 −2.(1 / x)6] par une méthode de zéro.
Remarque 1
Ce potentiel est surtout utilisé pour la description de molécules biatomiques. Il présente l'avantage par rapport au modèle harmonique de rendre compte de l'énergie de rupture de la liaison.
Comme pour l'oscillateur harmonique, il est possible de faire l'étude dans le repère du centre de masse. Si L0 est la distance à l'équilibre entre les atomes et Lt la distance à l'instant t, il suffit de remplacer dans l'équation (1) m par la masse réduite du système et x par (Lt − L0).
Le potentiel de Lennard-Jones rend bien compte de la force répulsive entre les atomes qui augmente fortement quand ceux-ci se rapprochent (x < 0).
Utilisation
Dans le programme, on pose m = 1.
Il est possible de modifier avec le slider la valeur du rapport E / E0 .
Le programme trace également le portrait de phase du mouvement ( courbe v = f(x) ).
On fera la comparaison avec un oscillateur harmonique où le portrait de phase est une ellipse.(Prendre λ = 0 et X excit = 0).
On constate que pour E / E0 < − 0.7, le portrait de phase se rapproche d'une ellipse et que le mouvement est alors pseudo harmonique.