Le plus souvent, la parabole est définie comme étant une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe F, le foyer, et d'une droite fixe Δ, la directrice.

Équation cartésienne :
La courbe représentative d'une fonction polynomiale du second degré d'équation y = ax² + bx + c (a, b et c sont des constantes réelles et a ≠0), est une parabole.
Le sommet S de la parabole est le point ou la tangente est normale à l'axe de la parabole.
Les coordonnées de S sont − b / 2a et (4ac − b²) / 4a.
Dans le cas b = c = 0, on obtient une l'expression simple y = a.x² que l'on peut aussi écrire y = x² / 2.p.
Le sommet S de cette parabole est alors confondu avec l'origine O.
p est le paramètre de la parabole. Le point F (0, p / 2) est le foyer de la parabole. et la directrice est la droite y = − p / 2.
La représentation cartésienne de y = ax² + bx + c permet de visualiser les solutions du trinôme ax² + bx + c = 0.

Équation paramétrique.
Pour une parabole on peut utiliser la représentation paramétrique :
x = t et y =t² / 2p avec t ∈]−∞, ∞[.
L'intérêt est plutôt limité.

Équation polaire.
La parabole est la conique d'excentricité égale à 1.
Dans le repère défini par le foyer et l'axe focal, l'équation polaire de l'ellipse de demi-axes a et b est :
p est la paramètre. C'est la valeur de ρ pour θ = π / 2 (axe en pointillés).

Tangentes à la parabole
Tangente en un point P (x0, y0) de a parabole:
De l'équation cartésienne, on déduit que la pente de la tangente en P à pour valeur α = x0 / p.
La pente de la normale en P est β = − 1 / α.
Tangentes passant par un point M (x0, y0) extérieur à la parabole
De l'équation cartésienne, on déduit que les pentes des tangentes à la parabole passant par M sont les solutions de l'équation :
p.α² − 2.α.x0 + 2y0 = 0.
On peut noter que si le point M est situé sur la directrice les tangentes à la parabole sont normales.

Définition par le foyer et la directrice.
On choisit le foyer F tel F = (0, p / 2). et la directrice Δ qui est la droite y = − p / 2
La parabole est le lieu dont la distance au point F est égale à la distance à la directrice. On a donc PF = PH.
Conséquences :
La tangente en P à la parabole est la bissectrice de l'angle FPH. Soit M le point à l'infini de la droite PH.
La normale en P à la parabole est donc la bissectrice de l'angle FPM.
Les droites MP et PF obéissent aux lois de la réflexion.
Par abus de langage "miroir parabolique" désigne en fait un paraboloïde de révolution autour de l'axe de la parabole.
Un miroir parabolique est parfaitement stigmatique pour les rayons parallèles à son axe.
Cette propriété est utilisée dans les miroirs de télescope et dans les antennes (électromagnétiques ou acoustiques).