Équation du mouvement
Dans un pendule simple la distance entre la poulie de suspension O et le centre de gravité de la masse M varie selon la loi suivante L = L₀ + Asin(Ω.t)
Si φ est l'angle de rotation avec avec la verticale, le moment du poids par rapport à O est ℳ₀ = − MgL(t).sin(φ)
Le moment cinétique de la masse M est ℒ_O = ML²(t.)dφ / dt
La dérivée du moment cinétique est donc dℒ_O / dt = ML²d²φ / dt² + 2M.L(dL / dt).(dφ / dt)
En appliquant le théorème du moment cinétique et en introduisant un terme de frottement visqueux du type K.dφ / dt, on tire :

Cette équation n'admet pas de solutions analytiques et doit être intégrée numériquement.

En l'absence de variation de longueur (A = 0 ou Ω = 0) on retrouve un pendule simple avec
On doit noter que si on raccourcit la corde, la dérivée de L soit 2Ωcos(Ω.t) devient négative ce qui correspond à un apport d'énergie et à une augmentation de l'amplitude des oscillations.
L'efficacité maximum est obtenue si l'on allonge la corde quand le pendule est vertical (vitesse maximum) et si on la diminue quand la vitesse s'annule.
Ce type d'excitation correspond au mouvement d'une escarpolette ou du "Botafumeiro" qui est un énorme encensoir, suspendu au plafond de la cathédrale de Saint Jacques de Compostelle. (L = 30 m, M = 55 kg) qui est mis en mouvement par une équipe de huit hommes.

Dans le cas d'une excitation sinusoïdale il y a une auto-limitation de l'amplitude. Pour une valeur de Ω adaptée à la valeur de l'amplitude initiale on se rapproche progressivement de la situation idéale d'amplification car la période du pendule varie quand son amplitude d'oscillation augmente mais pour la même raison elle diminue ensuite.

Utilisation
La pulsation Ω est exprimée en fonction de la fréquence propre ω₀ du pendule simple. En prenant Ω / ω₀= 0, on retrouve un pendule simple.
Le cercle en pointillés a pour rayon L₀.
En mode "Courbes" on affiche en rouge la courbe φ =f(t).
Quand la case ΔL(t) est cochée, on affiche en vert la courbe y(t) = A.sin(Ω.t).
Expérimenter en étudiant les variations d'amplitudes de l'oscillation en diminuant Ω à partir de la valeur 2ω₀ pour une valeur donnée de φ₀. Recommencer en modifiant la valeur de φ₀.
Examiner par exemple avec un double-décimètre la variation de la période d'oscillation avec le temps.
Vérifier la variation du déphasage entre les courbes de l'oscillation et de l'excitation.

Données
L0 = 20 m; A = 2 m; T₀ ≈ 9 s