On considère un pendule simple de masse M_P et de longueur L = 1 m, mobile sans frottements autour d'un axe horizontal, porté par un chariot de masse M_C qui se déplace sans frottements sur une règle à coussin d'air horizontale
Comme on néglige les frottements, la réaction sur la règle est verticale et il n'existe aucune force externe horizontale : Ce système est isolé et l'abscisse du centre de masse de l'ensemble est immobile. Elle est prise comme origine des abscisses.
Soient X l'abscisse du centre de gravité du chariot, x celle du centre de gravité du pendule et φ l'angle du pendule avec la verticale.
On peut donc écrire : x = −X + L.sin(φ) et (M_P.x + M_C.X) / (M_P + M_C) = 0.
La vitesse du pendule est v = L.dφ / dt et ses composantes sont v.cosφ et v.sinφ
On en déduit que la vitesse V_C du chariot est liée à la vitesse v par la relation : V_C = − M_P.v.cosφ / (M_P + M_C).

Équations du mouvement :
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l'équation différentielle du mouvement.
La méthode utilisant la seconde loi de Newton (tension du fil, composition des accélérations) conduit à des calcules un peu pénibles. Comme on néglige les frottements, le plus rapide est d'utiliser la conservation de l'énergie.
Soit φ₀ l'angle initial du pendule au temps t = 0. L'énergie initiale du système est E = − M_P.g.L.cosφ₀.
½.M_C.V_C² + ½.M_P.[(v.cosφ + V_C)² + ( v.sinφ)²] − M_P.g.L.cosφ = E
En utilisant les valeurs de V_C et de v, on tire :
(dφ / dt)² = 2g (cosφ − cosφ₀). (M_P + M_C) / L. (M_C + M_P.sin²φ)
La dérivation de cette relation par rapport au temps conduit, en posant A = M_C + M_P.sin²φ, à l'équation :
dφ² / dt² + g.(M_P + M_C).sinφ / A.L + (dφ / dt)².M_P.sinφ.cosφ / A = 0.
Cette équation n'a pas de solution analytique et doit être intégrée numériquement.
On constate que cette équation ne dépend en fait que du rapport des masses K = M_C / M_P.
Vérifier que pour K très grand (M_C infinie ou chariot bloqué), on retrouve l'équation du pendule simple :
dφ² / dt² + g.sinφ / L = 0.
Si le mouvement du chariot est sinusoïdal et si la fonction φ(t) est aussi sinusoïdale, on montre que la trajectoire du centre de masse du pendule est une branche d'ellipse.

Utilisation :
L'équation différentielle est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Le pas d'intégration utilisé est de 0,01 s.
Avec les sliders, choisir les valeurs des masses M_C et M_P ainsi que la valeur de l'angle initial φ₀.
Les cases à cocher permettent d'obtenir soit une simulation du mouvement soit le tracé des courbes X = f(t) et φ(t).

Courbes :
Le programme affiche la valeur du rapport K et détermine la durée T de la période d'oscillation. Comparer cette période à celle du pendule simple de même longueur 1 m soit T ≈ 2.0 s.
Pour estimer "l'harmonicité" des mouvements, le programme trace également (en gris) la courbe ψ = φ₀.cos (2.π.t / T).
Faire varier la valeur du rapport entre les masses et l'amplitude initiale. On peut constater que pour les valeurs de φ₀ inférieures à 35° la variation de φ est toujours pratiquement sinusoïdale. Par contre pour les valeurs importantes de φ₀ la variation de X n'est pas du tout sinusoïdale.
Vérifier que si K est grand, le système se comporte presque comme un pendule simple.

Simulation :
Le programme affiche les valeurs du temps, de l'abscisse du chariot et l'angle du pendule.
Il trace également la trajectoire du pendule. Dans tous les cas cette trajectoire ressemble à une portion d'ellipse.

Remarque
Sur le site il existe une autre page qui présente le même problème mais avec une représentation physique différente.