Intégrales de Fresnel
Elles
sont définies par :
Ces intégrales interviennent dans les problèmes de diffraction à distance finie.
Ces intégrales doivent être calculées numériquement à partir des développements en série des intégrales.
Pour u tendant vers l'infini, C(t) et S(t) tendent vers la valeur asymptotique
½.(π / 2)½ = 0,62666.
On a de façon évidente C(t) = − C(−t) et S(t) = − S(−t).
Les extréma
de C(t) se produisent pour t = (1+ 2k)½ = 1, 1,732, 2,236, 2,6458, 3 ...
Ceux de S(t), on lieu pour t =
k½ = 1,414, 2, 2,4495, 2,8284 ...
Spirale de Cornu
Si l'on porte la fonction C(t) sur l'axe des x et la fonction S(t) sur l'axe des y, on obtient une courbe en double spirale, symétrique par rapport à l'origine, connue sous le nom de spirale de Cornu ou clothoïde.
Cette courbe permet l'étude graphique des phénomènes de diffraction à distance finie des bords d'écran.
La graduation de la spirale en fonction du paramètre se fait en remarquant que la longueur de l'arc à partir de l'origine est égale à la valeur du paramètre. (cos2u + sin2u = 1).
La courbe présente deux asymptotes [½.(π / 2)½, ½.(π / 2)½ ] et [−½.(π / 2)½, −½.(π / 2)½ ] calculables à partir de C(∞) et S(∞).
La courbure de la spirale est également proportionnelle à la valeur du paramètre.
Cette courbe est, à cause de cette propriété, utilisée pour le tracé des routes et des voies de chemin de fer.
Remarque : Il existe d'autres définitions des intégrales de Fresnel. On trouve ainsi :
Les asymptotes de la spirale sont alors [½, ½] et [−½, −½]
Utilisation :
Les boutons radion permettent soit de tracer les courbes C(t) et S(t) soit la spirale de Cornu pour 0 ≦ t ≦ 5.
Les points bleus correspondent aux valeurs demi-entières et entières du paramètre de la spirale.
Une zone de texte permet de saisir la valeur du paramètre. Le programme affiche les valeurs correspondantes des intégrales de Fresnel.
Les méthodes utilisées pour le calcul des intégrales sont la transcription en JAVA de celles qui figurent dans Numerical Recipes in C (Press & al) Cambridge. (Il existe aussi des versions Fortran et Pascal).