La clothoïde est une courbe utilisée sur les routes et les voies de chemin de fer pour raccorder une droite à un cercle. Cette courbe est plus connue sous la dénomination "Spirale de Cornu".
C'est la trajectoire suivie par une voiture qui roule à vitesse constante V et dont le conducteur tourne le volant à une vitesse aussi constante.
En effet le raccordement direct d'une droite à un cercle de rayon R pose beaucoup de problèmes : il faut tourner rapidement le volant et les passagers sont soumis brutalement à l'accélération radiale (V2 / R).
Propriétés :
On prend l'origine des temps au début de la clothoïde. On considère le point M de celle-ci. Soit L la longueur curviligne de la courbe L et t le temps mis pour parcourir L = OM.
Comme la vitesse est constante, on a : V = dL / dt.
Soit φ l'angle de la tangente à la courbe.
On modifie l'angle de braquage ω = dφ / dt de façon linéaire donc dω / dt = d2φ / dt2 = Constante.
Comme dL / dt est aussi une constante, on a d2φ / dL2 = Constante.
Par convention, on pose d2φ / dL2 = 1 / C2. Par intégration on obtient L / C2 = dφ / dL et φ = L2 / 2C2.
Par définition le rayon de courbure R est dL / dφ . Donc R = C2 / L ou R.L = C2.
On en déduit les équations différentielles paramétriques de la courbe :
dx = cos(φ).dL et dy = sin(φ).dL qui correspondent à celles de la spirale de Cornu.
Il n'existe pas de solution analytique à ce problème et il faut procéder par intégration numérique.
Il existe des tables donnant x (L) et y(L) pour diverses valeurs de C.
Un célèbre programme de dessin industriel possède maintenant un module permettant le tracé des raccordements entre des droites, des droites et des arcs de cercles par des clothoïdes.
Remarque : il faut aussi calculer le dévers (variable avec L puisque l'accélération radiale croît avec L) de la voie de circulation pour que la réaction du véhicule soit si possible normale à la voie.
Utilisation :
Le programme présente (en haut) un raccord droite-cercle et en bas un raccordement droite-clothoïde.
Les vecteurs tracés en bleu correspondent aux vecteurs vitesses de norme constante.
Les vecteurs tracés en vert correspondent aux vecteurs accélérations.
La clothoïde est tracé par la méthode numérique déjà utilisée pour le tracé de la spirale de Cornu.
Le vecteur vitesse correspondant est tracé en utilisant la relation φ = L2 / 2C2.