L'orthodromie (du grec orthos : droit et dromos : course) désigne le chemin le plus court entre deux points d'une sphère, c'est-à-dire le plus petit des deux arcs du grand cercle passant par ces deux points. La route orthodromique entre deux points A et B du globe terrestre correspond à la route la plus courte entre eux.
Calcul de la distance orthodromique :
Pour calculer cette distance, on utilise la formule des cosinus de la trigonométrie sphérique.
Soient la et lb les latitudes de A et B et La et Lb leurs longitudes.
Pour cela on considère le triangle ABC tel que C soit le pôle nord. Les cotés du triangle sont a (complémentaire de la pour A), b (complémentaire de lb pour B), et l'angle γ du triangle en C vaut LB − LA (différence des longitudes). L'arc AB vaut :

c = arccos[sin(la).sin(lb) + cos(la).cos(lb).cos(LB − LB)]

Si on exprime c en radian, la distance entre A et B est dAB = R.c km (R = 6371 km est le rayon terrestre moyen).
Un mille nautique correspondant à une minute de grand cercle, la distance entre A et B est dAB = 60.c milles nautiques si on exprime c en degrés.
Pour suivre rigoureusement la route orthodromique (tracée en vert), il faut modifier le cap en permanence. En fait, on calcule une série de caps moyens qui sont suivi pendant un certain temps.
Sur un planisphère la route orthodromique décrit une courbe complexe fonction du type de la projection utilisée. Dans le programme elle est tracée point par point.

La loxodromie (du grec loxos : oblique et dromos : course) désigne le chemin à cap constant entre deux points d'une sphère.
Sur un planisphère c'est une droite qui coupe les méridiens avec un angle constant.
Soient lx et Lx les coordonnées d'un point de la trajectoire. On a : Lx = a.lx + b avec a = (Lb − La) / (lb − la) et b = Lb − a.lb.
L'angle entre la trajectoire et les méridiens est donc α avec a = tan(α).
La route loxodromique perd tout intérêt au voisinage des pôles car elle devient alors une spirale qui s'enroule autour du pôle.
Calcul de la distance loxodromique :
On considère un point C de la trajectoire (L et l), le point voisin D (L + dL, l + dl) et le point E situé sur le même méridien que C (L, l + dl). Soit α l'angle ECD. On a ED = dl.tan(α) = cos(l).dL et dl / cos(l) = dL / tan(α).
Par hypothèse l'angle α est constant.
Par intégration, on tire : ln|tan(l/2 + π/4)| = L / tan(α) + Constante
Finalement, on obtient :

Si A et B sont sur un même parallèle (la = lb) cette relation conduit à une forme indéterminée 0 / 0. La distance est égale à la longueur de l'arc du parallèle soit Arc(AB) = (Lb − La) / cos(la).
Pour des points assez voisins, on peut utiliser la formule approchée :
Arc(AB) = (Lb − La) / cos(α) avec tan(α) = (lb − la). cos[(la + lb) /2] / (Lb − La)
Si on exprime l'arc en radian, la distance entre A et B est D_AB = R.Arc(AB) km (R = 6371 km est le rayon terrestre moyen).
La valeur en milles nautiques est égale à la longueur de l'arc exprimée en minutes.
Remarque :
Cette formule n'est valable que si la différence des longitudes est inférieure à 180°. Dans le cas contraire, la trajectoire loxodromique est constituée de deux segments de droite qui joignent les points A et B aux points C (latitude lc et longitude 180°) et D (latitude lc et longitude −180°).

Comparaison entre les deux routes :
Pour les courtes distances, l'écart entre les deux routes est minime. La navigation à cap constant est donc utilisée.
Pour les grandes distances par contre, le gain apporté par la route orthodromique fait qu'elle est utilisée en navigation aérienne.
Au voisinage des pôles on utilise uniquement cette route. (Il existe des cartes de navigation spécifiques).

Utilisation
Agir sur les curseurs pour modifier la position des points A et B.
Sur le planisphère, l'orthodromie est tracée en vert clair et la loxodromie en rouge.
Sur la sphère , l'orthodromie est tracée en vert foncé et la loxodromie en brun.
Glisser la souris dans le cadre de l'applette pour modifier l'angle de vision.
Le programme prend en compte le cas des différences des longitudes supérieures à 180°. Dans ce cas les trajectoires loxodromiques sont calculées en deux morceaux.

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La loxodromie de la sphère de rayon R est une courbe qui fait un angle constant α avec les parallèles. Si θ est la longitude et λ la latitude, c'est donc la courbe telle que : dθ / dλ = K.cos (λ) avec K = tan( α ). On montre que ses équations en coordonnées cylindrique sont : ρ = R / cosh( k.θ ) et z = R.tanh( k.θ ) . On en déduit que ses équations paramétriques sont : x = R.cos( t ) / cosh( K.t ) y = R.sin ( t ) / cosh( K.t ) z = R.tanh ( K.t ) Si on effectue une projection stéréographique de la trajectoire loxodromique sur un plan équatorial à partir du pôle Nord, on obtient une spirale logarithmique. En effet la projection stéréographique conserve les angles : les méridiens se transforment en rayons et l'angle entre le rayon vecteur et la tangente à la trajectoire reste égal à α.