Les lois de Kepler permettent de déterminer le mouvement d'un objet céleste de masse m en orbite autour du Soleil sous l'effet de la gravitation. La trajectoire est plane (forces centrales).
Dans le cas des orbites elliptiques, il faut définir six paramètres pour définir la position d'un objet à un instant donné.
Les deux premiers, le demi-grand axe a et l'excentricité e, définissent l'ellipse dans un plan. Les trois suivants, longitude du nœud ascendant Ω, inclinaison I et argument du périastre ω, définissent l'orientation du plan de l'orbite dans l'espace. Enfin le dernier, instant de passage au périastre τ, définit la position de l'objet sur son orbite.

Paramètres de l'ellipse :
D'après la troisième loi de Kepler la période T et le demi-grand axe a sont liés par la relation : T² / a³ = 4.π² / G.M = Constante
(G = 6,67428.10 ⁻¹¹ constante de gravitation et M masse du Soleil).
Le demi-grand axe est exprimé en unité astronomique (distance moyenne Soleil-Terre). 1 UA = 149597870 km.
La période sidérale T est exprimée en année terrestre.

O est le centre de l'ellipse.
A est le périapse. Le point opposé du grand axe est l'apoapse. Dans le cas de la Terre ces points se nomment périgée et apogée. OA = a.
F est le foyer de l'ellipse qui correspond au centre de gravité des masses M et m. Si la masse m est négligeable devant celle du Soleil, F est le centre du Soleil
OF = c = a.e = (a² − b²)^½
FP = r est le rayon vecteur.
φ (angle AFP) est l'anomalie vraie.
ψ est l'anomalie excentrique.
Si les coordonnées de P sont x et y, ψ est l'angle tel que : x = a.cos(ψ) et y = b.sin(ψ).
Détermination de la position :
Pour calculer la position de m à l'instant t, on utilise l'équation du temps de Kepler : t = T.(ψ − e.sin(ψ)) / 2.π.
Pour chaque valeur de t, il faut résoudre numériquement cette équation transcendante pour calculer la valeur de ψ puis en déduire les valeurs de x(t) et de y(t). Pour cette résolution, on utilise une méthode de zéro.

Repère utilisé :
Comme plan xOy, on prend le plan de l'écliptique (plan de l'orbite terrestre). L'origine est le Soleil. Comme axe Ox, on prend la droite qui joint le Soleil au point vernal γ. (C'est le point de l'écliptique qui correspond à la position du Soleil à l'équinoxe de printemps (en mars). Ce point correspond au croisement de l'équateur céleste et du plan de l'écliptique.
Dans ce repère, l'équation de l'ellipse est x(t) = a.cosΨ(t) − c , y(t) = b.sinΨ(t) , z(t) = 0.
Le cercle en pointillé gris correspond au plan de l'écliptique. Le carré gris correspond au plan de l'orbite.
Le grand axe de l'ellipse est tracé en pointillés magenta.
L'orbite terrestre est représentée en bleu, celle de l'astre étudié en vert foncé.

Orientation du plan de l'orbite dans l'espace :
Longitude du nœud ascendant Ω
C'est l'angle entre la direction du point vernal et la ligne des nœuds. (dessinée en pointillés jaunes)
Cette ligne est l'intersection entre le plan de l'écliptique et le plan de l'orbite.
On effectue une rotation Ω de l'ellipse autour de l'axe Oz.
Inclinaison I
C'est l'angle dièdre entre le plan de l'écliptique et le plan de l'orbite.
On effectue une nouvelle rotation d'angle I de l'ellipse autour de l'axe (cosΩ, sinΩ, 0).
Argument du périastre ω
On oriente le grand axe de l'ellipse dans son plan en effectuant une rotation de ω autour d'un axe (sinΩ.sinI, −cosΩ.sinI , cosI)

Enfin l'instant de passage τ au périastre définit la position de l'objet sur son orbite à l'instant t. On l'obtient à partir de l'équation du temps.

On montre que dans un repère orthonormé, l'expression générale de la matrice rotation d'angle θ autour d'un axe de rotation dont les cosinus directeurs sont l, m et n est :

La quantité de calcul est importante et on ne peut qu'admirer les anciens astronomes qui les réalisaient avec papier crayon et tables de logarithmes

Utilisation
Commandes :
Utiliser les six curseurs pour ajuster les paramètres de l'orbite. Toute modification initialise le temps à zéro.
Les flèches droite et gauche permettent de faire varier l'échelle.
Utiliser les deux boutons de la souris puis glisser celle-ci pour modifier l'angle de vision.
Presser la touche [p] pour geler l'animation et la touche [c] pour reprendre.
Suggestions :
Commencer avec les paramètres Ω, I et ω nuls et faire Ψ = 90° pour avoir une vue de dessus et pouvoir examiner l'ellipse.
Compter le nombre de rotation de la Terre (représentée en cyan) pendant une révolution complète.
Faire varier Ω, I et ω en laissant deux paramètres nuls pour voir le rôle de chacun d'eux.
Examiner les planètes du Système solaire. Les données principales sont données à la page système solaire.