On considère une masse M qui coulisse sans frottement sur une barre horizontale. Deux ressorts identiques de raideur K et de longueur au repos L₀, fixés en Q1 et Q2 sont reliés à cette masse. On pose OQ1 = OQ2 = L, OP = x et φ est l'angle OPQ1.
La force entre un ressort et la masse est F = K(L − L₀) = K[(x² + L²)^½ − L₀].
La résultante des forces est R = 2.F.cos(φ) = 2.K[1 − L₀ / (x² + L²)^½ ].x
L'énergie potentielle est donc Ep(x) = ½.2.K.[(x² + L²)^½ − L₀]².
Si L est inférieur à L₀, Ep(0) n'est pas nul. x = 0 est une position d'équilibre instable.
On obtient un système avec deux puits de potentiel centrés sur les valeurs de x qui rendent L(x) égal à L₀ et qui correspondent à deux positions d'équilibre stable.
L'équation du mouvement est M.d²x / dt² = −2.K[1 − L₀ / (x² + L²)^½ ].x
Cette équation est intégrée numériquement par la méthode de Runge-Kutta.
La vitesse initiale est toujours nulle.
En l'absence de frottements, le système est conservatif et E(t) = Ec(t) + Ep(t) = constante.
Si la vitesse initiale est nulle l'énergie mécanique est donc égale à l'énergie potentielle initiale Ep(xi) = K.[(xi² + L²)^½ − L₀]².

Utilisation
Le panneau de gauche présente le système oscillant et la courbe x(t).
Le panneau du haut à droite montre la courbe Ep(x) / K. Le trait bleu correspond à la valeur initiale de l'énergie potentielle.
Le panneau du bas à droite montre le portrait de phase v(t) en fonction de x(t). Sur ce graphe, la valeur de la vitesse est normalisée.
On a utilisé les valeurs réduites L₀ = 1, M = 1.
L > L₀ :
Pour des valeurs faibles de x initial, on obtient un système pratiquement harmonique : variation pratiquement sinusoïdale de x(t), portrait de phase en forme d'ellipse.
La période d'oscillation dépend fortement de la valeur initiale de x.
L = L₀ :
Ep(x) est pratiquement nulle pour −0,2 < x < 0,2. Le portrait de phase montre que la vitesse reste pratiquement constante quand x varie dans ce domaine.
La période d'oscillation dépend fortement de la valeur initiale de x.
L < L₀ :
Dans ce cas, Ep(0= n'est pas nul et la courbe Ep(x) présente deux minima pour x = ± xp.
Selon la valeur initiale de x le système se comporte de deux manières différentes.
a) x initial est tel que l'énergie potentielle initiale est supérieure à Ep(0). Dans ce cas le portrait de phase reste symétrique mais présente deux lobes car la vitesse au voisinage de x = 0 est faible. x(t) n'est pas sinusoïdale.
b) x initial est tel que l'énergie potentielle initiale est inférieure à Ep(0). Dans ce cas si x initial est voisin de xp, l'amplitude des oscillations est faible et le système se comporte comme un oscillateur harmonique.
Si au contraire x initial est très différent de xp l'amplitude des oscillations est forte et le système se comporte de manière dissymétrique. Le portrait de phase comporte un seul lobe et les oscillations sont très assymétriques.

Ce système présente une bifurcation. Au voisinage de celle-ci, une petite modification des conditions initiales entraîne d' importantes modifications du comportement.
Par exemple pour K / M = 50 et Lr = 0,84.L₀ faire varier x initial au voisinage de 0,8 .

Compare ce système avec un autre modèle d'oscillateur anharmonique qui présente un seul puits de potentiel dissymétrique.