L'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique est de la forme Ep(x) = ½.K.x². Pour ce type d'oscillateur, le mouvement est sinusoïdal, le portrait de phase v = f(x) est une ellipse et la période est indépendante de la valeur de l'énergie totale du système.
On considère ici un oscillateur (par exemple une masse m fixée à un ressort spécial) pour lequel l'expression de l'énergie potentielle est Ep(x) = ½.K.x² − 1/3.A.K.x³.
A est un coefficient sans dimension qui va caractériser l'anharmonicité de l'oscillateur.
A ce potentiel correspond la force F(x) = − dEp/dx = − K.x + A.K.x².
Cette force est nulle pour x = 0 et pour x = 1 / A qui sont des positions d'équilibre.
L'expression de la dérivée seconde de Ep est d²Ep / dx² = − K + 2.A.K.x
Pour x = 0 elle est positive et cette position est un équilibre stable. Par contre pour x = 1 / A, la dérivée seconde est négative et l'équilibre instable. La valeur correspondante de Ep est Ep(1/A) = Epmax = K / 6A².
Si l'on néglige toute forme d'amortissement l'équation du mouvement est : m.d²x / dt² + F.x = 0 (1)
Il n'existe pas de solution analytique au problème et il faut faire une intégration numérique. On utilise ici la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Pour cette intégration, il faut préciser les conditions initiales. On prend à l'instant t = 0, v = 0.
L'énergie totale de m étant E = Ep + Ec = Ep(x) + ½.m.v², en t = 0, on a E = Ep. Pour trouver la valeur initiale de x, il faut résoudre E = Ep(x) par une méthode de zéro.
Il est aussi possible de prendre x = 0 pour t = 0. Comme Ep(0) = 0, on détermine v(0) à partir de E = Ec = ½.m.v².
La partie droite de l'animation montre la courbe Ep(x) = ½.K.x² − 1/3.A.K.x³ (en rouge), la courbe Ep(x) = ½.K.x² (en gris), le mouvement de la masse m. Le trait orange correspond à l'énergie potentielle et le trait cyan à l'énergie cinétique.
Le trait vert horizontal correspond à la valeur de l'énergie totale.
En haut à gauche on trouve la courbe v = f(x) (portrait de phase) et en bas à droite la courbe x = f(t).
Le programme affiche aussi la valeur de la période T₀ = 2π / (M / K)^½ de l'oscillateur harmonique.

Utilisation
Dans le programme, on pose m = 1.
Il est possible de modifier avec les curseurs la valeur de l'énergie totale, le rapport K / M et la valeur de A.
Le programme limite automatiquement la valeur de E à Epmax.
Pour A = 0, vérifier que v = f(x) est une ellipse, que x = f(t) est une sinusoïde et que la période est indépendante de la valeur de E.
Pour A ≠ 0, vérifier que si le puits de potentiel est étroit, (K grand) pour les faibles valeurs de E, l'oscillateur est pratiquement harmonique.
Tester la dépendance de la période avec E.

Comparer cet oscillateur avec un autre modèle d'oscillateur non harmonique.