On considère deux oscillateurs harmoniques (masse M1 , ressort de raideur K1 et masse M2, ressort de raideur K3) couplés par un ressort de raideur K2. On néglige les frottements.
Les pulsations des deux oscillateurs indépendants sont ω12 = K1 / M1 et ω22 = K3 / M2.
La mise en équation du système et sa résolution se trouvent dans la page Systèmes couplés
Pour certains cas particuliers, une solution analytique du problème est facile à obtenir.
Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme, le système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Par hypothèse, la vitesse initiale des deux masses est toujours nulle.
On peut constater que pour des conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe. C'est une combinaison linéaire des deux modes propres.
Elle est de la forme : Xi = Ai.cos(ωj.t) + Bi.cos(ωk.t) (i = 1 , 2)
La valeur des constantes Ai et Bi est fonction des conditions initiales.
Pour la détermination des fréquences propres ωj et ωk consulter la page sur la chaîne d'oscillateurs.
On pourra constater que l'on a toujours |ωj - ωk| > |ω1 - ω2|.
On dit que le couplage écarte les fréquences propres.
Le programme permet également, en faisant K3 = 0, l'étude d'un autre système de couplage de deux masses par un ressort.
Utilisation :
La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +2.
La valeur de K1 est égale à 1 N / m et M = 1kg.
Avec des valeurs identiques des masses (M1 / M2 = 1) et avec K2 non nul, testez les cas :
a) X2 = -2
b) X2 = +2
Ces conditions initiales correspondent aux modes propres symétrique et antisymétrique.
En particulier pour K2 = K1 = 1 vérifier que le carré du rapport des fréquences des 2 modes propres est égal à 3.
Avec K2 = 0, on obtient deux oscillateurs harmoniques indépendants.
Avec le rapport M1/M2 voisin de 1 (1,1 par exemple) et un couplage faible (K2 = 0,1), on obtient des battements car les périodes propres de chaque oscillateur sont voisines.
Avec K2 = K3 =0 , on retrouve un oscillateur unique.
Il suffit de valider la dernière valeur saisie dans les zones de texte.